Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2x+10與x軸，y軸相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（8，4），連接AC，BC．
（1）求過O，A，C三點(diǎn)的拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，PA=QA？
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)M，使以A，B，M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）先確定出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；用勾股定理逆定理判斷出△ABC是直角三角形；
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)表示出OP=2t，CQ=10-t，判斷出Rt△AOP≌Rt△ACQ，得到OP=CQ即可；
（3）分三種情況用平面坐標(biāo)系內(nèi)，兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可，

解答 解：（1）∵直線y=-2x+10與x軸，y軸相交于A，B兩點(diǎn)，
∴A（5，0），B（0，10），
∵拋物線過原點(diǎn)，
∴設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx，
∵拋物線過點(diǎn)A（5，0），C（8，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{25a+5b=0}\\{64a+8b=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{6}}\\{b=-\frac{5}{6}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{5}{6}$x，
∵A（5，0），B（0，10），C（8，4），
∴AB²=5²+10²=125，BC²=8²+（10-4）²=100，AC²=4²+（8-5）²=25，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形．
（2）如圖1，

當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)t秒，即OP=2t，CQ=10-t時(shí)，
由（1）得，AC=OA，∠ACQ=∠AOP=90°，
在Rt△AOP和Rt△ACQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=OA}\\{PA=QA}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，
∴OP=CQ，
∴2t=10-t，
∴t=$\frac{10}{3}$，
∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$\frac{10}{3}$時(shí)，PA=QA；
（3）存在，
∵y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{5}{6}$x，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=$\frac{5}{2}$，
∵A（5，0），B（0，10），
∴AB=5$\sqrt{5}$
設(shè)點(diǎn)M（$\frac{5}{2}$，m），
①若BM=BA時(shí)，
∴（$\frac{5}{2}$）²+（m-10）²=125，
∴m₁=$\frac{20+5\sqrt{19}}{2}$，m₂=$\frac{20-5\sqrt{19}}{2}$，
∴M₁（$\frac{5}{2}$，$\frac{20+5\sqrt{19}}{2}$），M₂（$\frac{5}{2}$，$\frac{20-5\sqrt{19}}{2}$），
②若AM=AB時(shí)，
∴（$\frac{5}{2}$）²+m²=125，
∴m₃=$\frac{5\sqrt{19}}{2}$，m₄=-$\frac{5\sqrt{19}}{2}$，
∴M₃（$\frac{5}{2}$，$\frac{5\sqrt{19}}{2}$），M₄（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5\sqrt{19}}{2}$），
③若MA=MB時(shí)，
∴（$\frac{5}{2}$-5）²+m²=（$\frac{5}{2}$）²+（10-m）²，
∴m=5，
∴M（$\frac{5}{2}$，5），此時(shí)點(diǎn)M恰好是線段AB的中點(diǎn)，構(gòu)不成三角形，舍去，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為：M₁（$\frac{5}{2}$，$\frac{20+5\sqrt{19}}{2}$），M₂（$\frac{5}{2}$，$\frac{20-5\sqrt{19}}{2}$），M₃（$\frac{5}{2}$，$\frac{5\sqrt{19}}{2}$），M₄（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5\sqrt{19}}{2}$），

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的全等的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是分情況討論，也是本題的難點(diǎn)．