【題目】1)如圖1,在△ABC中,EBC的中點,PAE的中點,則稱CP是△ABC的“雙中線”.若∠ACB90°,AC3AB5,則CP________

2)在圖2中,E是正方形ABCD一邊上的中點,PBE上的中點,則稱AP是正方形ABCD的“雙中線”.若AB4,則AP的長為__________;(按圖示輔助線求解)

3)在圖3中,AP是矩形ABCD的“雙中線”.若AB4,BC6,請仿照(2)中的方法求出AP的長,并說明理由;

4)在圖4中,AP是□ABCD的“雙中線”,若AB4,BC10,∠BAD120°,求△ABP的周長.

【答案】1;(2;(3AP的長為,理由見解析;(44

【解析】

1)利用勾股定理求出BC、AE,再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出結論;

2)連接DP并延長交AB的延長線于F,利用AAS證出△FBP≌△DEP,從而求出AFAD,利用勾股定理求出DF,再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出結論;

3)連接DP并延長交AB的延長線于點H,利用AAS證出△PBH≌△PED,從而求出AHAD,利用勾股定理求出DH,再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出結論;

4)連接DP并延長交AB的延長線于點H,作DKBABA的延長線于點K,過點AANDH于點N,過點EEMBCBC的延長線于點M,利用勾股定理、銳角三角函數(shù)和相似三角形的判定及性質(zhì)求出PBPA即可求出結論.

解:(1)∵∠ACB90°,AC3,AB5

BC=

EBC的中點,

CE=BC=2

AE=

PAE的中點,

CP=AE=

故答案為: ;

2)連接DP并延長交AB的延長線于F

E是正方形ABCD一邊上的中點,AB=4

AB=CD=AD=4,ABCD,BAD=90°

DE=CD=2,F=PDE,FBP=DEP

PBE上的中點,

BP=EP

∴△FBP≌△DEP

FP=DP,BF=DE=2

AF=ABBF=6

RtADF中,DF=

AP=DF=

故答案為:;

3AP的長為,理由如下:

如下圖,連接DP并延長交AB的延長線于點H

∵四邊形ABCD是矩形,

ABCD,ABCD4,ADBC6,∠HAD90°

∴∠H=∠PDE

PBE上的中點,

BPEP

又∠BPH=∠EPD,

∴△PBH≌△PEDAAS).

BHEDHPDP

ECD的中點,

BHEDCD2

AHABBH6

RtADH中,DH,

APDH

4)如下圖,連接DP并延長交AB的延長線于點H,作DKBABA的延長線于點K,過點AANDH于點N,過點EEMBCBC的延長線于點M

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴∠BCD=∠BAD120°CDAB4,ADBC10

RtADK中,∠KAD180°-∠BAD60°,∠K90°,AD10,

AKAD·cos 60°5KDAD·sin 60°

RtECM中,∠M90°,∠ECM180°-∠BCD60°,ECCD2

CMEC·cos 60°1,EMEC·sin 60°

RtBEM中,BMBCCM11,

BE

PBE的中點,

PBBE

同(3)可得△PBH≌△PED,

HPDP,HBDECD2

HKHBABAK24511,AHABBH6

RtHKD中,DH14,

PHPDDH7

∵∠AHN=∠DHK,∠ANH=∠K90°,

∴△HAN∽△HDK

AN,HN

PNPHHN7

RtAPN中,PA

∴△ABP的周長=ABPAPB4

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