Question

在平面坐標(biāo)系中，第1個(gè)正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)A₁，作第2個(gè)正方形A₁B₁C_lC，延長(zhǎng)C₁B₁交x軸于點(diǎn)A₂：作第3個(gè)正方形A₂B₂C₂C₁，…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2010個(gè)正方形的面積為（　�。�

• A、5•（

  3

  2

  ）²⁰⁰⁰
• B、5•（

  9

  4

  ）²⁰¹⁰
• C、5•（

  9

  4

  ）⁴⁰²⁰
• D、5•（

  3

  2

  ）⁴⁰¹⁸

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專(zhuān)題：規(guī)律型

分析：先由勾股定理就可以求出AD=

5

，第一個(gè)正方形的面積為5，由△A₁BA∽△AOD就可以求出A₁B=

5

2

，得出A₁C=

3 5

2

，第二個(gè)正方形的面積為5×（

3

2

）²，再由△A₂B₁A₁∽△AOD就可以求出A₁B₁=

3 5

4

，A₂C₁=（

3

2

）²

5

，第三個(gè)正方形的面積為：5×（

3

2

）⁴，根據(jù)規(guī)律可以得出第四個(gè)正方形的面積為5×（

3

2

）⁶，第五個(gè)正方形的面積為5×（

3

2

）⁸，…第n個(gè)正方形的面積為5×（

3

2

）^2n-2．故可以得出第2010個(gè)正方形的面積．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC，∠DAB=90°．
∵A（1，0），D（0，2），
∴OA=1，OD=2．
在Rt△ADO中，由勾股定理，得
AD=

5

，
故第一個(gè)正方形的面積為5；
∵四邊形A₁B₁C_lC是正方形，
∴A₁C=A₁B₁=B₁C₁，∠CA₁B₁=90°
∴△A₁BA∽△AOD，
∴

A1B

1

=

5

2

，
∴A₁B=

5

2

，
∴A₁C=

3 5

2

，
∴第二個(gè)正方形的面積為5×（

3

2

）²；
∵△A₂B₁A₁∽△AOD，
∴A₁B₁=

3 5

4

，
∴A₂C₁=（

3

2

）²

5

，
∴第三個(gè)正方形的面積為：5×（

3

2

）⁴；
根據(jù)規(guī)律可以得出
第四個(gè)正方形的面積為5×（

3

2

）⁶，
第五個(gè)正方形的面積為5×（

3

2

）⁸，
…
第n個(gè)正方形的面積為5×（

3

2

）^2n-2．
當(dāng)n=2010時(shí)，
第2010個(gè)正方形的面積為5×（

3

2

）⁴⁰¹⁸．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，正方形的面積公式的運(yùn)用，規(guī)律的探究的運(yùn)用，解答時(shí)探究出正方形的面積變化規(guī)律是關(guān)鍵．