Question

【題目】在中，，點為邊的中點

（1）如圖①，點分別為邊上的點，且．若，則 ；若，則四邊形的面積為

（2）若點分別為延長線上的點，且，那么嗎?請利用圖②說明理由．

Answer 1

【答案】（1）7, 25cm2；（2），見解析

【解析】

（1）連接AD，易知△ABC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD＝BD，∠FAD＝∠B＝45°,根據(jù)等角替換可得∠ADF＝∠BDE，可得△BDE≌△ADF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BE＝AF，進而可求CF，把四邊形AEDF分割成△ADE和△ADF，即可求解．

（2）連接AD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BD＝AD，∠ABC＝∠DAC＝45°，再根據(jù)平角性質(zhì)可得∠EBD＝∠FAD＝135°，根據(jù)等角替換可得∠ADF＝∠BDE，根據(jù)全等三角形的判定證得△BDE≌△ADF，進而求證BE＝AF．

（1）如圖①，連接AD

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B＝45°，

∵D是BC的中點，

∴AD⊥BD，∠BAD＝∠FAD＝45°，

∴∠FAD＝∠B＝45°，

∵∠BDE＋∠EDA＝∠EDA＋∠ADF＝90°，

∴∠BDE＝∠ADF，

∵∠BAD＝∠B＝45°，

∴AD＝BD，

在△BDE和△ADF中

∴△BDE≌△ADF（ASA）

∴BE＝AF

∵AB＝AC＝10cm，BE＝3cm，

∴AF＝BE＝3cm

∴CF＝10－3＝7cm,

∵S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，

即S△BDE＋S△ADE＝S△ADF＋S△CDF

又∵△BDE≌△ADF

∴S△BDE＝S△ADF

∴S△ADE＝S△CDF，

∴S△ADE＋S△ADF＝S△ABC＝×10×10＝25cm2,

即四邊形AEDF的面積為25cm2

（2）結(jié)論：BE＝AF

理由：如圖②連接AD，

易知∠BDA＝∠EDF＝90°，

∴∠BDE＋∠BDF＝∠BDF＋∠ADF，

∴∠BDE＝∠ADF，

又∵D是BC的中點，△ABC是等腰直角三角形，

∴BD＝AD，∠ABC＝∠DAC＝45°，

∴∠EBD＝∠FAD＝180°－45°＝135°，

∴△BDE≌△ADF（ASA），

∴BE＝AF