Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（b，0），C（-1，2），且|2a+b+1|+（a+2b-4）²=0．
（1）求a，b的值；
（2）①在x軸的正半軸上存在一點(diǎn)M，使△COM的面積=

1

2

△ABC的面積，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②在坐標(biāo)軸的其它位置是否存在點(diǎn)M，使△COM的面積=

1

2

△ABC的面積仍然成立？若存在，請直接寫出符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）如圖2，過點(diǎn)C作CD⊥y軸交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P為線段CD延長線上一動點(diǎn)，連接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，

∠OPD

∠DOE

的值是否會改變？若不變，求其值；若改變，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可列出關(guān)于a，b的方程組求得a，b的值；
（2）①過點(diǎn)C做CT⊥x軸，CS⊥y軸，垂足分別為T、S，根據(jù)三角形的面積公式即可求得OM的長，則M的坐標(biāo)即可求得；
②根據(jù)三角形的面積公式，即可寫出M的坐標(biāo)；
（3）利用∠BOF根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及角平分線的定義表示出∠OPD和∠DOE即可求解．

解答：解：（1）∵|2a+b+1|+（a+2b-4）²=0，
又∵|2a+b+1|≥0，（a+2b-4）²≥0，
∴|2a+b+1|=0且（a+2b-4）²=0．
∴

2a+b+1=0 a+2b-4=0

∴

a=-2 b=3

即a=-2，b=3．        

（2）①過點(diǎn)C做CT⊥x軸，CS⊥y軸，垂足分別為T、S．
∵A（-2，0），B（3，0），
∴AB=5，因為C（-1，2），
∴CT=2，CS=1，
△ABC的面積=

1

2

AB•CT=5，要使△COM的面積=

1

2

△ABC的面積，即△COM的面積=

5

2

，
所以

1

2

OM•CT=

5

2

，
∴OM=2.5．所以M的坐標(biāo)為（2.5，0）．
②存在．點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，5）或（-2.5，0）或（0，-5）．

（3）

∠OPD

∠DOE

的值不變，理由如下：
∵CD⊥y軸，AB⊥y軸
∴∠CDO=∠DOB=90°
∴AB∥CD
∴∠OPD=∠POB
∵OF⊥OE
∴∠POF+∠POE=90°，∠BOF+∠AOE=90°
∵OE平分∠AOP
∴∠POE=∠AOE
∴∠POF=∠BOF
∴∠OPD=∠POB=2∠BOF
∵∠DOE+∠DOF=∠BOF+∠DOF=90°
∴∠DOE=∠BOF
∴∠OPD=2∠BOF=2∠DOE
∴

∠OPD

∠DOE

=2．

點(diǎn)評：本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積公式，以及角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，求點(diǎn)的坐標(biāo)問題常用的方法就是轉(zhuǎn)化成求線段的長的問題．