Question

4．如圖，AB是⊙O的一條弦，直徑CD⊥AB于E，連接CA、CB，點M、N分別為CA、CB的中點，連接ME、NE．
（1）試判斷四邊形CMEN的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）若⊙O的半徑為4，設CE=x，①當x為何值時，四邊形CMEN是正方形？②當x為何值時，四邊形CMEN中有一個角是60°？
（3）在（2）的條件下，設四邊形CMEN的面積為y，求y與x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先證明四邊形CMEN是平行四邊形，再證明EM=EN即可．
（2）①當∠MCN=90°時，四邊形CMEN是正方形，此時AB是直徑，點E、O重合，由此即可解決問題．
②分兩種情形求解，當∠ACB=60°，如圖1中，連接OA，在RT△AOE中，根據(jù)OE=$\frac{1}{2}$OA=2，即可解決問題，當∠CME=60°時，則∠ACB=120°，證明△ACO是等邊三角形，即可解決問題．
（3）根據(jù)S_菱形CMEN=$\frac{1}{2}$MN•EC，求出NM即可解決問題．

解答 解：（1）結(jié)論：四邊形CMEN是菱形．
理由：∵直徑CD⊥AB于E，
∴AE=EB，CA=CB，
∵AM=CM，CN=NB，
∴EM∥BC，EN∥AC，EM=$\frac{1}{2}$BC，EN=$\frac{1}{2}$AC，
∴EM=EN，
∴四邊形CMEN是平行四邊形，
∵EM=EN，
∴四邊形CMEN是菱形．

（2）①當∠MCN=90°時，四邊形CMEN是正方形，
∴AB是直徑，點E、O重合，
∴CE=CO=4．
②當∠ACB=60°，如圖1中，連接OA，在RT△AOE中，∵∠AEO=90°，∠OAE=30°，OA=4，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA=2，
∴CE=OC+OE=5．
當∠CME=60°時，則∠ACB=120°，如圖2中，連接OA，
∴∠ACO=∠BCO=60°，
∴△ACO是等邊三角形，
∵AE⊥OC，
∴CE=EO=2．
∴當x為5或2時，四邊形CMEN中有一個角是60°．

（3）∵四邊形CMEN是菱形，
∴S_菱形CMEN=$\frac{1}{2}$MN•EC，
∵MN=$\frac{1}{2}$AB=AE=$\sqrt{{4}^{2}-（x-4）^{2}}$=$\sqrt{8x-{x}^{2}}$，
∴S_菱形CMEN=$\frac{1}{2}$MN•EC=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{8x-{x}^{2}}$•x=$\frac{x•\sqrt{8x-{x}^{2}}}{2}$，（0＜x＜8）．

點評 本題考查圓綜合題、等邊三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)垂徑定理等知識，解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題，學會分類討論，不能漏解，屬于中考壓軸題．