（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，D是等邊△ABC邊BA上一動點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合），連接DC，以DC為邊在BC上方作等邊△DCF，連接AF．你能發(fā)現(xiàn)線段AF與BD之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．
（2）類比猜想：如圖②，當(dāng)動點(diǎn)D運(yùn)動至等邊△ABC邊BA的延長線上時，其他作法與（1）相同，猜想AF與BD在（1）中的結(jié)論是否仍然成立？
（3）深入探究：
Ⅰ．如圖③，當(dāng)動點(diǎn)D在等邊△ABC邊BA上運(yùn)動時（點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合）連接DC，以DC為邊在BC上方、下方分別作等邊△DCF和等邊△DCF′，連接AF、BF′，探究AF、BF′與AB有何數(shù)量關(guān)系？并證明你探究的結(jié)論．
Ⅱ．如圖④，當(dāng)動點(diǎn)D在等邊△邊BA的延長線上運(yùn)動時，其他作法與圖③相同，Ⅰ中的結(jié)論是否成立？若不成立，是否有新的結(jié)論？并證明你得出的結(jié)論．

如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面積是28cm²，AB=16cm，AC=12cm，求DE的長．

如圖，在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，AB=AC，∠BAC=120°，E在AB上，且∠AED=105°．
求證：BE=BD．

如圖，已知點(diǎn)E、C在線段BF上，BE=CF，請?jiān)谙铝兴膫�等式中：①AB=DE，②∠ACB=∠F，③∠A=∠D，④AC=DF．選出兩個作為條件，推出△ABC≌△DEF，并予以證明． （寫出一種即可）

已知：___________________，__________________
求證：△ABC≌△DEF
證明：

如圖，將△ABC和△DEF放置在正方形網(wǎng)格中，求證：AB=DE

如圖，△ABC∽△DEC，CA=CB，且點(diǎn)E在AB的延長線上.
求證：（1）AE=BD；（2）△BOE∽△COD.

已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=6，動點(diǎn)P以每秒個單位從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BA、AC運(yùn)動，過點(diǎn)P作邊長為3的等邊△FDE，使得點(diǎn)D在線段BC上，點(diǎn)E在線段DC上.
（1）如圖（1），當(dāng)EF經(jīng)過點(diǎn)A時，動點(diǎn)P運(yùn)動時間t為多少？
（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動t秒時，△ABC與△DEF重疊部分面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.
（3）如圖（2），在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，是否存在時間t，使得以點(diǎn)P為圓心，AP為半徑的圓與△FDE三邊所在的直線相切.如果存在，請直接寫出t的值；如不存在，說明理由.

如圖，Rt△AB ¢C ¢是由Rt△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到的，連結(jié)CC ¢交斜邊于點(diǎn)E，CC ¢的延長線交BB ¢于點(diǎn)F．
（1）證明：△ACE∽△FBE；
（2）設(shè)∠ABC=，∠CAC ¢ =，試探索、滿足什么關(guān)系時，△ACE與△FBE是全等三角形，并說明理由．

如圖，在由邊長為的小正方形組成的方格紙中，有兩個全等的三角形，即△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂．
（1）請你指出在方格紙內(nèi)如何運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)變換，將△A₁B₁C₁重合到△A₂B₂C₂上；
（2）在方格紙中將△A₁B₁C₁經(jīng)過怎樣的變換后可以與△A₂B₂C₂成中心對稱圖形？畫出變換后的三角形并標(biāo)出對稱中心．

如圖，在中，AB = AC，D是底邊BC的中點(diǎn)，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
求證：DE = DF.

證明：（①                                    ）
在BDE和中，，
≌（②                                        ）
（③                                         ）
⑴上面的證明過程是否正確？若正確，請寫出①、②和③的推理根據(jù).
⑵請你寫出另一種證明此題的方法.