某校研究性學(xué)習(xí)小組在研究相似圖形時(shí)，發(fā)現(xiàn)相似三角形的定義、判定及其性質(zhì)，可以拓展到扇形的相似中去．例如，可以定義：“圓心角相等且半徑和弧長對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性質(zhì)：弧長比等于半徑比、面積比等于半徑比的平方……．請(qǐng)你協(xié)助他們探索這個(gè)問題．

(1)寫出判定扇形相似的一種方法：若________，則兩個(gè)扇形相似；

(2)有兩個(gè)圓心角相等的扇形，其中一個(gè)半徑為a、弧長為m，另一個(gè)半徑為2a，則它的弧長為________；

(3)如圖是一完全打開的紙扇，外側(cè)兩竹條AB和AC的夾角為120°，AB為30厘米，現(xiàn)要做一個(gè)和它形狀相同、面積是它一半的紙扇(如圖)，求新做紙扇(扇形)的圓心角和半徑．

在下圖中，圖(1)是一個(gè)扇形AOB，將其作如下劃分：

第一次劃分：如圖(2)所示，以O(shè)A的一半OA₁為半徑畫弧，再作∠AOB的平分線，得到扇形的總數(shù)為6個(gè)，分別為：扇形AOB、扇形AOC、扇形COB、扇形A₁OB₁、扇形A₁OC₁、扇形C₁OB₁；

第二次劃分：如圖(3)所示，在扇形C₁OB₁中，按上述劃分方式繼續(xù)劃分，可以得到扇形的總數(shù)為11個(gè)；

第三次劃分：如圖(4)所示；

……

依次劃分下去．

(1)根據(jù)題意，完成下表：

(2)根據(jù)上表，請(qǐng)你判斷按上述劃分方式，能否得到扇形的總數(shù)為2 005個(gè)？為什么？

如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2 cm，AB＝4 cm，分別以AC、BC為直徑作半圓，求圖中陰影部分的面積．

如圖，在相距40 km的兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B之間，有一個(gè)近似圓形的湖泊，其半徑為10 km，圓心恰好位于A，B連線的中點(diǎn)處，現(xiàn)要繞過湖泊從A城到B城，假設(shè)除湖泊外，所有的地方均可行走，下面有兩種行走路線，請(qǐng)你通過推理計(jì)算，說明哪條路線較短．

圖(1)的路線：線段AC→→線段DB；

圖(2)的路線：線段AE→→線段FB，其中E，F(xiàn)為切點(diǎn)．

如圖，(1)、(2)、(3)、…、(n)分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC，正四邊形ABCD，正五邊形ABCDE，…，正n邊形ABCD…，點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)B，C開始以相同的速度在⊙O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)．

(1)求圖(1)中∠APN的度數(shù)；

(2)圖(2)中，∠APN的度數(shù)是________，圖(3)中∠APN的度數(shù)是________；

(3)試探索∠APN的度數(shù)與正多邊形邊數(shù)n的關(guān)系(直接寫出答案)．

若⊙O的半徑為R，求其內(nèi)接十二邊形的面積S₁₂．(用含R的代數(shù)式表示)

已知AB為⊙O的內(nèi)接正十邊形的一邊．若AB＝a，求OA的長．(用含a的代數(shù)式表示)

如圖，圖(1)、(2)、(3)、…、(n)中，M、N分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE、…、正n邊形ABCDE…的邊AB、BC上的點(diǎn)，且BM＝CN，連結(jié)OM、ON．

(1)求圖(1)中∠MON的度數(shù)；

(2)圖(2)中∠MON的度數(shù)是________，圖(3)中∠MON的度數(shù)是________；

(3)試探究∠MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關(guān)系(直接寫出答案)．

如圖，在正五角星ABCDE中，BE與AC、AD分別交于M、N．AB＝a，求BM、BN、BE的長．

　　天象圖片欣賞

　　如圖是2004年5月5日2時(shí)48分到3時(shí)52分在北京拍攝的從初虧到食既的月全食過程．

　　數(shù)學(xué)問題解決

　　用數(shù)學(xué)的眼光看下圖，可以認(rèn)為是地球、月球投影(兩個(gè)圓)的位置關(guān)系發(fā)生了從外切、相交到內(nèi)切的變化；2時(shí)48分月球投影開始進(jìn)入地球投影的黑影(圖(2))；3時(shí)52分，這時(shí)月球投影全部進(jìn)入地球投影的黑影(圖(3))．

　　設(shè)照片中的地球投影如圖(1)中半徑為R的大圓⊙O，月球投影如圖(1)中半徑為r的小圓⊙P．求這段時(shí)間內(nèi)圓心距OP與時(shí)間t(分)的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．