某校研究性學(xué)習(xí)小組在研究有關(guān)二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)的問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)重要的結(jié)論：一是發(fā)現(xiàn)拋物線y＝ax²＋2x＋3(a≠0)，當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，它的頂點(diǎn)都在某條直線上；二是發(fā)現(xiàn)當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，若把拋物線y＝ax²＋2x＋3的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少，縱坐標(biāo)增加，得到A點(diǎn)的坐標(biāo)；若把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加，縱坐標(biāo)增加，得到B點(diǎn)的坐標(biāo)，則A、B兩點(diǎn)一定仍在拋物線y＝ax²＋2x＋3上．

(1)請(qǐng)你協(xié)助探求出當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，拋物線y＝ax²＋2x＋3的頂點(diǎn)所在直線的解析式；

(2)問題(1)中的直線上有一個(gè)點(diǎn)不是該拋物線的頂點(diǎn)，你能找出它來嗎？并說明理由；

(3)在他們第二個(gè)發(fā)現(xiàn)的啟發(fā)下，運(yùn)用“一般——特殊——一般”的思想，你還能發(fā)現(xiàn)什么？你能用數(shù)學(xué)語言將你的猜想表達(dá)出來嗎？你的猜想能成立嗎？若能成立，請(qǐng)說明理由．

已知拋物線y＝x²＋bx＋c的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)若直線y＝kx(k＞0)分別與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，與直線y＝－x＋4相交于點(diǎn)P，求的值；

(3)在(2)中，是否存在k的值，使A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和等于4？如果存在，求出k的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l₁經(jīng)過點(diǎn)A(－2，0)和點(diǎn)B(0，)，直線l₂的函數(shù)表達(dá)式為＝－x＋，l₁與l₂相交于點(diǎn)P．⊙C是一個(gè)動(dòng)圓，圓心C在直線l₁上運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓心C的橫坐標(biāo)是a．過點(diǎn)C作CM⊥x軸，垂足是點(diǎn)M．

(1)填空：直線l₁的函數(shù)表達(dá)式是________，交點(diǎn)P的坐標(biāo)是________，∠FPB的度數(shù)是________；

(2)當(dāng)⊙C和直線l₂相切時(shí)，請(qǐng)證明點(diǎn)P到直線CM的距離等于⊙C的半徑R，并寫出R＝－2時(shí)a的值．

(3)當(dāng)⊙C和直線l₂不相離時(shí)，已知⊙C的半徑R＝－2，記四邊形NMOB的面積為S(其中點(diǎn)N是直線CM與l₂的交點(diǎn))．S是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

如下圖所示，在矩形ABCD中，AB＝20 cm，BC＝4 cm，點(diǎn)P從A開始沿折線A－B－C－D以4 cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C開始沿CD邊以1 cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P，Q分別從A，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)D時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)．

(1)t為何值時(shí)，四邊形APQD為矩形？

(2)如下圖所示，如果⊙P和⊙Q的半徑都是2 cm，那么t為何值時(shí)，⊙P和⊙Q外切？

已知關(guān)于x的一元二次方程－x²＋bx＋c＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是m，4，其中0＜m＜4．

(1)求b，c的值(用含m的代數(shù)式表示)；

(2)設(shè)拋物線y＝－x²＋bx＋c與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，如圖所示，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，－2)，且AD²＋BD²＝25，求拋物線的關(guān)系式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)在(2)中所得的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得PC＝PD？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(4)在(2)中所得的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PCD是等腰三角形？若存在，指出滿足條件的P點(diǎn)的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

閱讀題．

(1)如圖所示，設(shè)正方形ABCD的面積為S，它的兩條對(duì)角線與一組對(duì)邊所圍成的兩個(gè)三角形面積為S₁，S₂，則三者之間存在的等量關(guān)系為________；

(2)將第(1)問中的正方形改為矩形后，其余條件不變，則第(1)問中的等量關(guān)系是否成立？

(3)將第(1)問中的正方形改為平行四邊形后，依照第(1)問寫一個(gè)命題并判斷真假；(不要求證明)

(4)設(shè)梯形的面積為S，梯形的兩條對(duì)角線與兩底邊所夾的三角形面積為S₁，S₂，則三者之間有何等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(5)根據(jù)(1)至(4)你可以歸納出的結(jié)論：________．

如圖(1)所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．

(1)如果P，E，F(xiàn)分別是BC，AC，BD的中點(diǎn)．求證AB＝PE＋PF；

(2)如果P是BC上的任意一點(diǎn)(中點(diǎn)除外)，PE∥AB，PF∥DC．

如圖(2)所示，那么AB＝PE＋PF這個(gè)結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由．

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的面積為15，邊OA比OC大2．E為BC的中點(diǎn)，以O(shè)E為直徑的⊙交x軸于D點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F．

(1)求OA、OC的長(zhǎng)；

解：

(2)求證：DF為⊙的切線；

證明：

(3)小明在解答本題時(shí)，發(fā)現(xiàn)△AOE是等腰三角形．由此，他斷定：“直線BC上一定存在除點(diǎn)E以外的點(diǎn)P，使△AOP也是等腰三角形，且點(diǎn)P一定在⊙外”．你同意他的看法嗎？請(qǐng)充分說明理由．

解：

已知△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、B不重合)，Q是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B、C不重合)．

(1)如圖所示，當(dāng)PQ∥AC，且Q為BC的中點(diǎn)時(shí)，求線段CP的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)PQ與AC不平行時(shí)，△CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，請(qǐng)求出線段CQ的長(zhǎng)的取值范圍；若不可能，請(qǐng)說明理由．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(4，0)、B(0，3)，P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、B不重合)，Q是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)O、A不重合)，C為OQ的中點(diǎn)，

(1)求直線AB的解析式；

(2)過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為D，設(shè)OC＝x，CD＝d，寫出d與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍；

(3)當(dāng)OQ＝3時(shí)，以O(shè)Q為直徑作圓C，試判斷直線AB與圓C的位置關(guān)系？

(4)當(dāng)PQ不與x軸垂直時(shí)，△OPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，請(qǐng)求出線段OQ的長(zhǎng)的取值范圍，若不可能，請(qǐng)說明理由．