如圖：四邊形ABCD和四邊形AEFC都是矩形，點B在EF邊上.

（1）請你找出圖中一對相似三角形（相似比不等于1），并加以證明；
（2）若四邊形ABCD的面積為20，求四邊形AEFC的面積．

如圖，在平面直角坐標系xoy中，以點M(1,-1)為圓心，以為半徑作圓，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C、D兩點，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A、B、C，頂點為E.

（1）求此二次函數(shù)的表達式；
（2）設∠DBC＝a，∠CBE＝b，求sin（a－b）的值；
（3）坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCE相似．若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

已知：如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD于點E，連接BC．

（1）線段BC、BE、AB應滿足的數(shù)量關(guān)系是      ；
（2）若點P是優(yōu)弧上一點（不與點C、A、D重合），連接BP與CD交于點G.
請完成下面四個任務：
①根據(jù)已知畫出完整圖形，并標出相應字母；
②在正確完成①的基礎上，猜想線段BC、BG、BP應滿足的數(shù)量關(guān)系是       ；
③證明你在②中的猜想是正確的；
④點P′恰恰是你選擇的點P關(guān)于直徑AB的對稱點，那么按照要求畫出圖形后在②中的猜想仍然正確嗎？    ；（填正確或者不正確，不需證明）

如圖，□ABCD中，E為BC延長線上一點，AE交CD于點F，若，AD=2，∠B=45°，，求CF的長．

如圖，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于E.求證：△ABD∽△CBE．

觀察計算：
當，時，與的大小關(guān)系是_________________．
當，時，與的大小關(guān)系是_________________．
探究證明：
如圖所示，為圓O的內(nèi)接三角形，為直徑，過C作于D，設，BD=b．

（1）分別用表示線段OC，CD­；
（2）探求OC與CD表達式之間存在的關(guān)系（用含a，b的式子表示）．
歸納結(jié)論：
根據(jù)上面的觀察計算、探究證明，你能得出與的大小關(guān)系是：______________．
實踐應用：
要制作面積為4平方米的長方形鏡框，直接利用探究得出的結(jié)論，求出鏡框周長的最小值．

如圖，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a＞3）．動點M，N同時從B點出發(fā)，分別沿B?A，B?C運動，速度是1厘米/秒．過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q．當點N到達終點C時，點M也隨之停止運動．設運動時間為t秒．

（1）若a=4厘米，t=1秒，則PM= _________ 厘米；
（2）若a=5厘米，求時間t，使△PNB∽△PAD，并求出它們的相似比；
（3）若在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍；
（4）是否存在這樣的矩形：在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面積都相等？若存在，求a的值；若不存在，請說明理由．

閱讀材料

如圖①，△ABC與△DEF都是等腰直角三角形，ACB=∠EDF=90°，且點D在AB邊上，AB、EF的中點均為O，連結(jié)BF、CD、CO，顯然點C、F、O在同一條直線上，可以證明△BOF≌△COD，則BF=CD．解決問題：
（1）將圖①中的Rt△DEF繞點O旋轉(zhuǎn)得到圖②，猜想此時線段BF與CD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖③，若△ABC與△DEF都是等邊三角形，AB、EF的中點均為O，上述（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？如果成立，請說明理由；如不成立，請求出BF與CD之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖④，若△ABC與△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中點均為0，且頂角∠ACB=∠EDF=α，請直接寫出的值（用含α的式子表示出來）

在一個邊長為a（單位：cm）的正方形ABCD中.

（1）如圖1，如果N是AD中點，F(xiàn)為AB中點，連接DF，CN.
①求證：DF=CN；
②連接AC.求DH:HE: EF的值；
（2）如圖2，如果點E、M分別是線段AC、CD上的動點，假設點E從點A出發(fā)，以cm/s速度沿AC向點C運動，同時點M從點C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD向點D運動，運動時間為t（t＞0），連結(jié)DE并延長交正方形的邊于點F，過點M作MN⊥DF于H，交AD于N.判斷命題“當點F是邊AB中點時，則點M是邊CD的三等分點”的真假，并說明理由. （4分）

如圖，小明同學用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上．已知紙板的兩條直角邊DE=0.4m，EF=0.2cm，測得邊DF離地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求樹高.