Question

13．放在水平桌面上的底面積直徑為 D 的圓柱形容器中裝有適量的水，現(xiàn)將一質(zhì)量為 m 的木塊 A 放入水中，木塊 A 漂浮，它露出水面的部分是它總體積的 1/n，如圖（甲）所 示；將一體積為 V 的金屬塊 B 放在木塊 A 上，木塊恰好浸沒在水中，如圖（乙）所示；若將金屬塊 B 放入某種液體中，容器底對金屬塊 B 的支持力是 F，如圖（丙）所示．
（1）畫出圖（甲）中木塊 A 在豎直方向上的受力示意圖．
（2）圖（乙）相比于未放金屬塊 B 之前的圖（甲），水對容器底的壓強增加了多 少？
（3）圖（丙）中容器中液體的密度為多少？

Answer 1

分析 （1）首先分析出物體A受到的兩個力：重力和浮力，然后根據(jù)物體的浮沉條件判斷出重力和浮力的大小關(guān)系，根據(jù)力的示意圖的畫法表示出兩個力；
（2）根據(jù)A在水中情況，求出A的密度，由V=$\frac{m}{ρ}$求出其體積，根據(jù)物體A的體積求出A全部浸沒時水上升的體積，再根據(jù)△h=$\frac{V}{S}$可求出水面的變化，從而可求出容器底所受壓強的變化；
（3）物體漂浮時受到的浮力和自身的重力相等，根據(jù)G=mg和漂浮條件得出甲乙兩圖的等式，兩式相比即可求出物體B的質(zhì)量；
對丙圖中B物體受力分析可知，受到豎直向上的浮力和支持力、豎直向下的重力，根據(jù)力的平衡條件求出受到的浮力，再根據(jù)阿基米德原理求出液體的密度．

解答 解：
（1）因為物體A漂浮在水中，所以物體A受到的浮力和重力大小相等，浮力方向豎直向上，重力方向豎直向下，作用點都畫在重心處，如圖所示：

（2）在甲圖中，因為A漂浮，則受到的浮力與重力相等，即F_浮=G，
根據(jù)阿基米德原理和重力公式可得：ρ_水g（1-$\frac{1}{n}$）V_A=m_Ag=ρ_AV_Ag；
解得：ρ_A=$\frac{n-1}{n}$ρ_水；
由ρ=$\frac{m}{V}$得，A的體積為：V_A=$\frac{m}{{ρ}_{A}}$=$\frac{m}{\frac{n-1}{n}{ρ}_{水}}$=$\frac{n}{（n-1）{ρ}_{水}}$m；
容器的底面積為：S=π（$\frac{D}{2}$）²=$\frac{π{D}^{2}}{4}$；
由圖乙知，A恰好完全浸沒，
所以，放上金屬塊B后，A排開水的體積的增加量：△V=$\frac{1}{n}$V_A=$\frac{1}{n}$×$\frac{n}{（n-1）{ρ}_{水}}$m=$\frac{1}{（n-1）{ρ}_{水}}$m；
此時水面上升的高度為：△h=$\frac{△V}{S}$=$\frac{\frac{1}{（n-1）{ρ}_{水}}m}{\frac{π{D}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{（n-1）π{D}^{2}{ρ}_{水}}$m；
則水對容器底的壓強增加量：△p=ρ_水g△h=ρ_水g$\frac{4}{（n-1）π{D}^{2}{ρ}_{水}}$m=$\frac{4}{（n-1）π{D}^{2}}$mg；
（3）圖甲中，A物體漂浮，由阿基米德原理和漂浮條件可得：
F_浮A=ρ_水gV_排=ρ_水g×（1-$\frac{1}{n}$）V_A=m_Ag，
所以，$\frac{n-1}{n}$ρ_水V_A=m_A--------①
圖乙中，AB的整體漂浮，所以F_浮AB=ρ_水gV_排′=ρ_水gV_A=（m_A+m_B）g，
即ρ_水V_A=m_A+m_B--------②
由①②可得B物體的質(zhì)量：m_B=$\frac{1}{n}$ρ_水V_A=$\frac{1}{n}$ρ_水×$\frac{n}{（n-1）{ρ}_{水}}$m=$\frac{1}{n-1}$m；
丙圖中B物體受到豎直向上的浮力和支持力、豎直向下的重力，
由力的平衡條件可得：F_浮B+F=G_B=m_Bg，
即ρ_液gV+F=$\frac{1}{n-1}$mg；
解得此液體的密度為：ρ_液=$\frac{\frac{1}{n-1}mg-F}{Vg}$．
答：（1）見上圖；
（2）圖（乙）相比于未放金屬塊 B 之前的圖（甲），水對容器底的壓強增加了$\frac{4}{（n-1）π{D}^{2}}$mg；
（3）圖（丙）中容器中液體的密度為$\frac{\frac{1}{n-1}mg-F}{Vg}$．

點評 本題考查了物體漂浮的條件和阿基米德原理、受力分析、力的平衡條件、重力公式的應(yīng)用，綜合性強，具有一定的難度，要注意知道物體浸沒時排開液體的體積和本身的體積相等．