Question

【題目】迫擊炮和目標(biāo)位于同一水平面上，它們之間有高為h的小山，迫擊炮到山的水平距離為a，目標(biāo)到山的水平距離為b。試求為擊毀目標(biāo)，炮彈必須具有的最小初速度以及發(fā)射角。

Answer 1

【答案】如果，則，；如果，則， 。

【解析】

先討論沒有山的情況下所有通過目標(biāo)的軌道。如圖所示，在圖上標(biāo)出與炮彈最小初速度相對應(yīng)的軌道，大家知道這條軌道對應(yīng)發(fā)射角。不難確定，位于這條軌道上方或下方的其他軌道所對應(yīng)的初速度都要大于這個最小初速度。因此，如果山位于這條軌道的下方，那么上述解答是符合實際的，也就是這條軌道滿足題意。如果山高出這條軌道，那么上述所求的軌道要越過山的頂部，我們必須重新來求出新的軌道，本題的問題就在于此。

現(xiàn)在我們來作定量的討論。

選擇坐標(biāo)系：迫擊炮位于坐標(biāo)的原點(diǎn)，x軸為水平線，y軸為豎直線。炮彈的坐標(biāo)與時間的關(guān)系表述如下：

，

。

從這兩個方程中消去t，得到地彈的軌道方程

。 ①

要使這些軌道通過目標(biāo)，為此令當(dāng)時。

。 ②

從②式得出式，再代入①式中，得到通過目標(biāo)的軌道方程

。 ③

取為從0到范圍內(nèi)的不同值，得到如圖所示的一切軌道，而當(dāng)時得到標(biāo)出的軌道。 ④

現(xiàn)在闡述，在什么條件下這條軌道從山的上方通過，為此求當(dāng)軌道上這點(diǎn)的高度。

。

由此可見，如果山高，則所求的軌道由④式確定，而與它對應(yīng)的初速度只要方程②中令即可，由此得。

這是初速度與最大的水平射程之間的一般關(guān)系式。

如果山高于標(biāo)出的軌道：，就得重新確定所求的軌道。在此情況下需要求通過山頂?shù)能壍溃�即令�?/span>

當(dāng)時③式中。

。

由此。

將值代入公式③，得出所求的軌道方程。

注意，為了回答題目提出的問題，這個方程并不是我們最終的要求，但是，它卻提供了進(jìn)一步研究問題的可能性：炮彈通過哪些點(diǎn)飛向目標(biāo)？

為了找到與這條軌道相應(yīng)的初速度，需要將的值代入方程②中，得。

綜上所述，作出解答：

如果，則，；

如果，則，

。