Question

兩條互相平行的直線分別過點A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自繞著A、B旋轉，如果兩條平行直線間的距離為d，求：

(1)d的變化范圍；

(2)當d取最大值時，兩條直線的方程．

Answer 1

解：(1)方法1：①當兩條直線的斜率不存在時，即兩直線分別為x＝6和x＝－3，則它們之間的距離為9.

②當兩條直線的斜率存在時，設這兩條直線方程為

l₁：y－2＝k(x－6)，

l₂：y＋1＝k(x＋3)，

即l₁：kx－y－6k＋2＝0，l₂：kx－y＋3k－1＝0.

∴d＝＝，

即(81－d²)k²－54k＋9－d²＝0.

∵k∈R，且d≠9，d>0，

∴Δ＝54²－4(81－d²)(9－d²)≥0，

即0<d≤3且d≠9.

綜合①②可知，所求的d的變化范圍為(0,3]．

圖4

方法2：如圖4所示，

顯然有0<d≤|AB|.

而|AB|＝

＝3.

故所求的d的變化范圍為(0,3]．

(2)由圖4可知，當d取最大值時，兩直線垂直于AB.

而k_AB＝＝，

∴所求的直線的斜率為－3.

故所求的直線方程分別為y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.