Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²-3
（1）求函數(shù)g（x）=e^xf（x）的極值；
（2）過(guò)點(diǎn)A（2，t），存在與曲線y=x（f（x）-9）相切的3條切線，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到極值；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x₀，x₀³-12x₀）是曲線y=x（f（x）-9）的切點(diǎn)，寫(xiě)出在P點(diǎn)處的切線的方程，將點(diǎn)A（2，t）代入，將t分離出來(lái)，根據(jù)有三條切線，所以方程應(yīng)有3個(gè)實(shí)根，設(shè)h（x）=2x³-6x²+t+24，只要使曲線有3個(gè)零點(diǎn)即可．建立不等關(guān)系解之即可．

解答 解：（1）函數(shù)g（x）=e^xf（x）=e^x（x²-3），
g′（x）=e^x（x²+2x-3）=）=e^x（x+3）（x-1），
當(dāng)x＞1或x＜-3時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（-∞，-3），（1，+∞）遞增，
當(dāng)-3＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（-3，1）遞減．
即有g(shù)（x）在x=1處取得極小值，且為-2e，在x=-3處取得極大值，且為6e^-3；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x₀，x₀³-12x₀）是過(guò)點(diǎn)A的直線與曲線y=x（f（x）-9）的切點(diǎn)，
y′=（x³-12x）′=3x²-12，
則在P點(diǎn)處的切線的方程為y-x₀³+12x₀=3（x₀²-4）（x-x₀）
即y=3（x₀²-4）x-2x₀³
因?yàn)槠溥^(guò)點(diǎn)A（2，t），所以，t=6（x₀²-4）-2x₀³=-2x₀³+6x₀²-24，
由于有三條切線，所以方程應(yīng)有3個(gè)實(shí)根，
設(shè)h（x）=2x³-6x²+t+24，只要使函數(shù)h（x）有3個(gè)零點(diǎn)即可．
設(shè)h′（x）=6x²-12x=0，∴x=0或x=2分別為g（x）的極值點(diǎn)，
當(dāng)x∈（-∞，0）和（2，+∞）時(shí)h′（x）＞0，h（x）在（-∞，0）和（2，+∞）上單增，
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)h′（x）＜0，h（x）在（0，2）上單減，
所以，x=0為極大值點(diǎn)，x=2為極小值點(diǎn)．
所以要使曲線與x軸有3個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{h（0）＞0}\\{h（2）＜0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{t+24＞0}\\{t+16＜0}\end{array}\right.$，
解得-24＜t＜-16．
即有t的范圍為（-24，-16）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和極值的求法，注意函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題和易錯(cuò)題．