Question

12．已知函數(shù)f（x）=x²+ax-$\frac{1}{2}$1nx．
（Ⅰ）若a=0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a≥0，求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若a=0，求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a≥0，求出導(dǎo)數(shù)為0的根，即可求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）．
若a=0，f（x）=x²-$\frac{1}{2}$1nx，f′（x）=$\frac{（2x+1）（2x-1）}{2x}$．
f′（x）＞0可得x＞$\frac{1}{2}$，f′（x）＜0可得0＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$）；
（2）f′（x）=$\frac{4{x}^{2}+2ax-1}{2x}$=0，
∴4x²+2ax-1=0的兩個(gè)根為x₁=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$，x₂=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$，
∵a≥0，∴x₂＜0＜x₁，
x∈（0，x₁），f′（x）＜0，x∈（x₁，+∞），f′（x）＞0，
∴x₁=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$為函數(shù)的極小值點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．