Question

9．已知正數(shù)x、y滿足log₂（x-2y）+log₂（x+2y）=2，則z=x-y最小值為（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由題意，得出x、y的關(guān)系式，以及x²-4y²=4，畫出圖象，得到當(dāng)目標(biāo)函數(shù)和雙曲線相切時，z有最小值，構(gòu)造方程組，利用判別式即可求出

解答 解：∵log₂（x-2y）+log₂（x+2y）=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2y＞0}\\{x+2y＞0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞2y}\\{x＞-2y}\end{array}\right.$
且log₂（x²-4y²）=2=log₂4，
∴x²-4y²=4，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，
則點（x，y）在如圖所示的雙曲線的右支上，
∴當(dāng)目標(biāo)函數(shù)x=y+z與雙曲線相切時，z有最小值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4{y}^{2}=4}\\{x=y+z}\end{array}\right.$，
∴（y+z）²-4y²=4，
∴3y²-2yz+4-z²=0，
∴△=4z²-12（4-z²）=0，
解得z=$\sqrt{3}$，z=-$\sqrt{3}$（舍去）
∴z=x-y最小值為$\sqrt{3}$，
故選：C

點評 本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)以及雙曲線的性質(zhì)，線性規(guī)劃，屬于中檔題．