Question

已知圓O以原點(diǎn)為圓心，且與直線(xiàn)5x-12y+26=0相切．
（1）求圓O的方程；
（2）若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（1，2），且被圓O截得的弦長(zhǎng)為2

3

，求直線(xiàn)l的方程；
（3）由圓O上任意一點(diǎn)M向x軸作垂線(xiàn)，垂足為N，P是直線(xiàn)MN上一點(diǎn)且滿(mǎn)足|NP|=2|PM|，求點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)和圓的方程的應(yīng)用,軌跡方程

專(zhuān)題：綜合題,直線(xiàn)與圓

分析：（1）求出圓心到直線(xiàn)5x-12y+26=0的距離，得到半徑，即可求圓O的方程；
（2）求出圓心到直線(xiàn)l的距離為

4-3

=1，利用直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（1，2），分類(lèi)討論，即可求直線(xiàn)l的方程；
（3）設(shè)P（x，y），M（x，y′），N（x，0），利用|NP|=2|PM|，確定M，P坐標(biāo)之間的關(guān)系，即可求點(diǎn)P的軌跡方程．

解答： 解：（1）圓心到直線(xiàn)5x-12y+26=0的距離d=

26

13

=2，
∴圓O的方程為x²+y²=4；
（2）∵直線(xiàn)l被圓O截得的弦長(zhǎng)為2

3

，
∴圓心到直線(xiàn)l的距離為

4-3

=1，
∵直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（1，2），
∴斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)l的方程x=1滿(mǎn)足；
斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，
∴圓心到直線(xiàn)l的距離

|-k+2|

k2+1

=1，
∴k=

3

4

，
∴直線(xiàn)l的方程為3x-4y-5=0，
綜上所述，直線(xiàn)l的方程為x=1或3x-4y-5=0；
（3）設(shè)P（x，y），M（x，y′），N（x，0），則
①

NP

=2

PM

，可得（0，y）=2（x，y′-y），∴y′=

3

2

y，
∵M(jìn)在圓上，
∴x²+

9

4

y²=4；
②

NP

=-2

PM

，可得（0，y）=-2（x，y′-y），∴y′=

1

2

y，
∵M(jìn)在圓上，
∴x²+

1

4

y²=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．