Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，

3

2

）；過(guò)點(diǎn)P（2，1）的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，滿足

PA

•

PB

=

PM

²，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由已知條件設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，且

a=2 1 a2 + 9 4b2 =1

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為：y=k（x-2）+1，由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-2)+1

，得（3+4k²）x²-8k（2k-1）x+16k²-16k-8=0，由此根據(jù)韋達(dá)定理、根的判別式、向量數(shù)量積，結(jié)合已知條件推導(dǎo)出存在直線l滿足條件，其方程為y=

1

2

x．

解答： 解：（Ⅰ）∵中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，

3

2

），
∴設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
由題意得

a=2 1 a2 + 9 4b2 =1

，解得b²=3，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）∵過(guò)點(diǎn)P（2，1）的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，
∴若存在直線l滿足題意，則直線l的斜率必存在，
設(shè)直線l的方程為：y=k（x-2）+1，
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-2)+1

，
得（3+4k²）x²-8k（2k-1）x+16k²-16k-8=0，
∵直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、B，
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
∴△=[-8k（2k-1）]²-4（3+4k²）（16k²-16k-8）＞0，
整理，得32（6k+3）＞0，解得k＞-

1

2

，
又x₁+x₂=

8k(2k-1)

3+4k2

，x1x2=

16k2-16k-8

3+4k2

，
∵

PA

•

PB

=

PM

2，即（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）=

5

4

，
∴（x₁-2）（x₂-2）（1+k²）=|PM|²=

5

4

，
∴[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]（1+k²）=

5

4

，
∴[

16k2-16k-8

3+4k2

-2•

8k(2k-1)

3+4k2

+4]（1+k²）=

4+4k2

3+4k2

=

5

4

，
解得k=±

1

2

，∵k＞-

1

2

，∴k=

1

2

，
∴存在直線l滿足條件，其方程為y=

1

2

x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量的數(shù)量積的合理運(yùn)用．