【題目】如圖,在三棱錐中,,為的中點(diǎn),平面,垂足落在線段上,為的重心,已知,,,.
(1)證明:平面;
(2)求異面直線與所成角的余弦值;
(3)設(shè)點(diǎn)在線段上,使得,試確定的值,使得二面角為直二面角.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3).
【解析】
(1)方法一:由重心的性質(zhì)得出,再由,結(jié)合相似三角形的性質(zhì)得出,再利用直線與平面平行的判定定理得出平面;
方法二:以為原點(diǎn),以射線為軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用重心的坐標(biāo)公式計(jì)算出點(diǎn)的坐標(biāo),可計(jì)算出,可證明出,再利用直線與平面平行的判定定理得出平面;
(2)計(jì)算出和,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算出,即可得出異面直線與所成角的余弦值;
(3)由,得出,可求出的坐標(biāo),然后可計(jì)算出平面(即平面)的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量,由題意得出,結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求出實(shí)數(shù)的值.
(1)方法一:如圖,連接,因?yàn)?/span>是的重心,是的中點(diǎn),
即,,,,
所以,,又因?yàn)?/span>平面,平面,平面;
方法二:以為原點(diǎn),以射線為軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則、、、、、,
是的重心,則點(diǎn)的坐標(biāo)為,
,,即,
又因?yàn)?/span>平面,平面,平面;
(2),,,
所以異面直線與所成角的余弦值;
(3),,,
,
,
,,,
設(shè)平面的法向量為,平面的法向量為,
由,得,即,令,可得,,
所以,平面的一個(gè)法向量為,
由,得,得,
取,則,,
所以,平面的一個(gè)法向量為,
由于二面角為直二面角,所以,,
則,解得,合乎題意.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一 廠家在一批產(chǎn)品出廠前要對(duì)其進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn),檢驗(yàn)方案是: 先從這批產(chǎn)品中任取3件進(jìn)行檢驗(yàn),這3件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為.如果,再從這批產(chǎn)品中任取3件進(jìn)行檢驗(yàn),若都為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn);如果,再從這批產(chǎn)品中任取4件進(jìn)行檢驗(yàn),若都為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn);其他情況下,這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn).
假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%,即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為,且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立.
(1) 求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率;
(2) 已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元,凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn),對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為(單位: 元),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),
(1)若,且在(0,+∞)為增函數(shù),求的取值范圍;
(2)設(shè),若存在,使得,求證:且.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題p:,;命題q:方程表示雙曲線.
⑴若命題p為真命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
⑵若命題“”為真命題,“”為假命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求曲線的普通方程;
(2)在以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為,過直線上一點(diǎn)引曲線的切線,切點(diǎn)為,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC, .點(diǎn)D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn),PA=AC=4,AB=2.
(Ⅰ)求證:MN∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C-EM-N的正弦值;
(Ⅲ)已知點(diǎn)H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為,求線段AH的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,若直線的極坐標(biāo)方程為曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)).
(1)求直線和曲線的普通方程;
(2)設(shè)直線和曲線交于兩點(diǎn),求
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)為打入國際市場,決定從,兩種產(chǎn)品中只選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn).已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表:(單位:萬美元)
項(xiàng)目類別 | 年固定成本 | 每件產(chǎn)品成本 | 每件產(chǎn)品銷售價(jià) | 每年最多可生產(chǎn)的件數(shù) |
產(chǎn)品 | 20 | 10 | 200 | |
產(chǎn)品 | 40 | 8 | 18 | 120 |
其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān),為待定常數(shù),其值由生產(chǎn)產(chǎn)品的原材料價(jià)格決定,預(yù)計(jì).另外,年銷售件產(chǎn)品時(shí)需上交萬美元的特別關(guān)稅.假設(shè)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售出去.
(1)寫出該廠分別投資生產(chǎn),兩種產(chǎn)品的年利潤、與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系,并指明其定義域;
(2)如何投資才可獲得最大年利潤?請(qǐng)你做出規(guī)劃.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列四個(gè)命題:
①在中,若,則;
②已知點(diǎn),則函數(shù)的圖象上存在一點(diǎn),使得;
③函數(shù)是周期函數(shù),且周期與有關(guān),與無關(guān);
④設(shè)方程的解是,方程的解是,則.
其中真命題的序號(hào)是______.(把你認(rèn)為是真命題的序號(hào)都填上)
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