Question

【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC， .點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4，AB=2.

（Ⅰ）求證：MN∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；

（Ⅲ）已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）或.

【解析】試題分析：本小題主要考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角等基礎(chǔ)知識(shí).考查用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.首先要建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，證明線面平行只需求出平面的法向量，計(jì)算直線對(duì)應(yīng)的向量與法向量的數(shù)量積為0，求二面角只需求出兩個(gè)半平面對(duì)應(yīng)的法向量，借助法向量的夾角求二面角，利用向量的夾角公式，求出異面直線所成角的余弦值，利用已知條件，求出的值.

試題解析：如圖，以A為原點(diǎn)，分別以， ， 方向?yàn)?/span>x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.

（Ⅰ）證明： =（0，2，0），=（2，0， ）.設(shè)，為平面BDE的法向量，

則，即.不妨設(shè)，可得.又=（1，2， ），可得.

因?yàn)?/span>平面BDE，所以MN//平面BDE.

（Ⅱ）解：易知為平面CEM的一個(gè)法向量.設(shè)為平面EMN的法向量，則，因?yàn)?/span>， ，所以.不妨設(shè)，可得.

因此有，于是.

所以，二面角C—EM—N的正弦值為.

（Ⅲ）解：依題意，設(shè)AH=h（），則H（0，0，h），進(jìn)而可得， .由已知，得，整理得，解得，或.

所以，線段AH的長(zhǎng)為或.