Question

14．設a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x³-x²-x+a．
（1）求f（x）的極值；
（2）當a在什么范圍內(nèi)取值時，曲線y=f（x）與x軸有三個交點？

Answer 1

分析 （1）函數(shù)連續(xù)可導，只需討論滿足f′（x）=0的點附近的導數(shù)的符號的變化情況，來確定極值點，求出極值．
（2）曲線f（x）與x軸有三個交點，可轉化成a-1＜0＜$\frac{5}{27}$+a即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-2x-1．…（1分）
令f′（x）=0，則x=-$\frac{1}{3}$或x=1．…（2分）
當x變化時f′（x）、f（x）變化情況如下表：

x	（-∞．-$\frac{1}{3}$）	-$\frac{1}{3}$	（-$\frac{1}{3}$，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	•

…（6分）
所以f（x）的極大值是f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{5}{27}$+a，
極小值是f（1）=a-1．…（8分）
（2）由（1）知道，f（x）_極大值=$\frac{5}{27}$+a或f（x）_極小值=f（1）=a-1，
因為曲線y=f（x）與x軸有三個交點，
所以a-1＜0＜$\frac{5}{27}$+a，
所以-$\frac{5}{27}$＜a＜1．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點，屬于中檔題．