Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程ρ=2cosθ，θ∈[0，

π

2

]．
（Ⅰ）求C的參數(shù)方程；
（Ⅱ）設(shè)點D在C上，C在D處的切線與直線l：y=

3

x+2垂直，根據(jù)（Ⅰ）中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,圓的參數(shù)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）半圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為 （x-1）²+y²=1，令x-1=cosα∈[-1，1]，y=sinα，可得半圓C的參數(shù)方程．
（Ⅱ）由題意可得直線CD和直線l平行．設(shè)點D的坐標(biāo)為（1+cosα，sinα），根據(jù)直線CD和直線l的斜率相等求得 cotα 的值，可得α 的值，從而得到點D的坐標(biāo)．

解答： 解：（Ⅰ）半圓C的極坐標(biāo)方程ρ=2cosθ，θ∈[0，

π

2

]，即 ρ²=2ρcosθ，
化為直角坐標(biāo)方程為 （x-1）²+y²=1，x∈[0，2]、y∈[0，1]．
令x-1=cosα∈[-1，1]，y=sinα，α∈[0，π]．
故半圓C的參數(shù)方程為

x=1+cosα y=sinα

，α∈[0，π]．
（Ⅱ）由于點D在C上，半圓C在D處的切線與直線l：y=

3

x+2垂直，
∴直線CD和直線l平行，故直線CD和直線l斜率相等．
設(shè)點D的坐標(biāo)為（1+cosα，sinα），∵C（1，0），∴

sinα-0

(1+cosα)-1

=

3

，
解得tanα=

3

，即α=

π

3

，
故點D的坐標(biāo)為（

3

2

，

3

2

）．

點評：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，把直角坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程，注意參數(shù)的范圍，屬于基礎(chǔ)題．