已知函數(shù)f（x）=x+
1
x
．
（1）證明：f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）求f（x）在[2，4]上的最值．
考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（1）利用定義證明單調(diào)性步驟：①取值、②作差、③變形、④判號(hào)、⑤下結(jié)論，進(jìn)行證明；
（2）利用f（x）的單調(diào)性求出函數(shù)在已知區(qū)間上的最值．
解答： （1）證明：設(shè)x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，
則f（x1）-f（x2）=x1+
1
x1
-（x2+
1
x2
）=x1-x2+
x2-x1
x1x2

=
(x1-x2)(x1x2-1)
x1x2
，
∵1≤x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1x2＞1，
∴x1x2-1＞0，則
(x1-x2)(x1x2-1)
x1x2
＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以y=f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）解：由（1）知，函數(shù)f（x）在[2，4]上是增函數(shù)，
當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有最小值是f（2）=
5
2
，
當(dāng)x=4時(shí)，f（x）有最大值是f（4）=
17
4
，
所以函數(shù)的最小值為
5
2
，最大值為
17
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了證明函數(shù)單調(diào)性的一種基本方法：定義法，以及利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，要熟練掌握定義證明單調(diào)性的步驟，其中變形最關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{an}滿足an+1=
2
an（n≥1），Sn是其前n項(xiàng)和，若a2a4=2a5，則S4=（　�。�
A、4
2
B、8
2
C、3+3
2
D、6+6
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列算法：
第一步，輸入x的值．
第二步，當(dāng)x＞4時(shí)，計(jì)算y=x+2；否則執(zhí)行下一步．
第三步，計(jì)算y=
4-x
．
第四步，輸出y．
當(dāng)輸入x=0時(shí)，輸出y=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)集合M={1，2，3}的非空真子集個(gè)數(shù)是（　�。�
A、6B、7C、8D、9

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC與BD的交點(diǎn)為O，SO⊥平面ABCD，E為側(cè)棱SC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：平面SAC⊥平面BDE；
（2）若E為SC的中點(diǎn)，求證：SA∥平面BDE；
（3）若E為SC的中點(diǎn)，AB=SO=a，∠BAD=60°，求三棱錐S-BDE的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知向量
AC
是
AB
與
AD
的和向量，
AC
=
a
，
DB
=
b
，且|
a
|=2，|
b
|=1，
a
與
b
的夾角為60°．
（1）求線段AB的長(zhǎng)；
（2）過點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為H，若
AH
=λ
a
+μ
b
（λ，μ∈R），試求λ，μ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓
x2
m
+
y2
m-1
=1（2≤m≤5），過其左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓及其準(zhǔn)線交于A、B、C、D，設(shè)f （m）=||AB|-|CD||． 
（1）求直線AB的方程；
（2）求f（m）的解析式；
（3）求f（m）的最大、最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知中心在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C，其長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為6，點(diǎn)F1，F(xiàn)2為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為該橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且△F1PF2 面積的最大值為2
5
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求
1
PF
2
1
+
1
PF
2
2
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)等差數(shù)列{an]的公差為d，點(diǎn)（an，bn）在函數(shù)f（x）=2x的圖象上（n∈N*）．
（1）若a1=2，點(diǎn)（a8，4b7）在函數(shù)f（x）的圖象上，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；
（2）若數(shù)列{an}的公差不為0，且a1=1，a2，a4，a8成等比數(shù)列，求數(shù)列{
an
bn
}的前n項(xiàng)和Tn．

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