Question

如圖，已知橢圓

x2

m

+

y2

m-1

=1（2≤m≤5），過其左焦點且斜率為1的直線與橢圓及其準線交于A、B、C、D，設f （m）=||AB|-|CD||． 
（1）求直線AB的方程；
（2）求f（m）的解析式；
（3）求f（m）的最大、最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設橢圓的焦距為c，則c²=m-（m-1）=1，由此能求出直線AB的方程．
（2）由題意知A（-m，-m+1），D（m，m+1），橢圓的準線為x=±m(xù)，由

y=x+1 x2 m + y2 m-1 =1

，得：（2m-1）x²+2mx+2m-m²=0，由此利用根的判別式和兩點間距離公式能求出f（m）的解析式．
（3）由f（m）=

2 3

2- 1 m

，又m∈[2，5]，由題意知2-

1

2

≤2-

1

m

≤2-

1

5

，由此能求出f（m）的最大、最小值．

解答： 解：（1）設橢圓的焦距為c，則c²=m-（m-1）=1，
則F₁（-1，0），F₂（1，0），
∴直線AB的方程為y=x+1．…（4分）
（2）由題意知A（-m，-m+1），D（m，m+1），橢圓的準線為x=±m(xù)，
由

y=x+1 x2 m + y2 m-1 =1

，消去y并整理得：（2m-1）x²+2mx+2m-m²=0，（6分）
△=8m（m-1）²，∵m∈[2，5]，∴△＞0恒成立，
此時x_B+x_C=-

2m

2m-1

，又直線的斜率k=1，
∴||AB|-|CD||=|

2

|x_B-x_A|-

2

|x_D-x_C||=

2

|（x_B+x_C）-（x_A+x_D）|，（8分）
又x_A=-m，x_D=m，∴x_A+x_D=0
故f（m）=

2

|x_B+x_C|=

2 2 m

2m-1

，m∈[2，5]．（10分）
（3）解：f（m）=

2 3

2- 1 m

，又m∈[2，5]，由題意知2-

1

2

≤2-

1

m

≤2-

1

5

，
∴f（m）∈[

10 2

9

，

4 2

3

]，
故m=2時，f（m）_max=

4 2

3

；m=5時，f（m）_min=

10 2

9

．（14分）

點評：本題考查直線方程的求法，考查函數的解析式的求法，考查函數的最大、最小值的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．