Question

18．過拋物線y²=x的焦點F的直線的斜率大于等于1，交拋物線于A、B．且A點在x軸上方．則|FA|的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁），依題意可求得拋物線y²=x的焦點F（$\frac{1}{4}$，0）與準線方程x=-$\frac{1}{4}$，利用拋物線的定義，將|AF|轉化為點A到其準線的距離，通過解方程組即可求得|FA|的最大值，從而可得|AF|的取值范圍

解答 解：設A（x₁，y₁），依題意，拋物線y²=x的焦點F（$\frac{1}{4}$，0），準線方程為x=-$\frac{1}{4}$，
由拋物線的定義知，|FA|=x₁+$\frac{1}{4}$
當θ=180°時，x₁=0，|FA|=$\frac{1}{4}$，此時直線和拋物線只有一個交點，與題意不符；
當θ=45°時，|FA|最大，此時直線FA的方程為：y=x-$\frac{1}{4}$，
代入拋物線y²=x得x²-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{16}$=0，
解得x=$\frac{3}{4}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$或x=$\frac{3}{4}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍）．
∴|FA|_max=$\frac{3}{4}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{4}$=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴|AF|的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
故答案為：（$\frac{1}{4}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

點評 本題考查拋物線的簡單性質，考查方程思想與等價轉化思想，考查運算能力，屬于中檔題．