Question

若函數(shù)f（x）滿(mǎn)足條件：當(dāng)x₁，x₂∈[-1，1]時(shí)，有|f（x₁）-f（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，則稱(chēng)f（x）∈Ω．對(duì)于函數(shù)g（x）=x³，h（x）=，有（ ）
A．g（x）∈Ω且h（x）∉Ω
B．g（x）∉Ω且h（x）∈Ω
C．g（x）∈Ω且h（x）∈Ω
D．g（x）∉Ω且h（x）∉Ω

Answer 1

【答案】分析：先對(duì)f（x）討論，利用立方差公式將|f（x₁）-f（x₂）|分解因式為|x₁-x₂|•|x₁²+x₁x₂+x₂²|，再根據(jù)自變量在閉區(qū)間[-1，1]上取值，可得|x₁²+x₁x₂+x₂²|≤x₁²+|x₁x₂|+x₂²≤3，因而|f（x₁）-f（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，得f（x）∈Ω；
再對(duì)g（x）討論，將差通分可得|g（x₁）-g（x₂）|=||，根據(jù)自變量在閉區(qū)間[-1，1]上取值再結(jié)合倒數(shù)的方法證出且，可得故||≤|x₁-x₂|，因而|g（x₁）-g（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，可得g（x）∈Ω
解答：解：根據(jù)題意得：
（1）|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁³-x₂³|=|x₁-x₂|•|x₁²+x₁x₂+x₂²|
因?yàn)閤₁，x₂∈[-1，1]，所以|x₁²+x₁x₂+x₂²|≤x₁²+|x₁x₂|+x₂²≤3
所以有|f（x₁）-f（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，可得f（x）∈Ω
（2）|g（x₁）-g（x₂）|=||=||
因?yàn)閤₁，x₂∈[-1，1]，所以，
故||≤|x₁-x₂|≤3|x₁-x₂|
所以有|g（x₁）-g（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，可得g（x）∈Ω
綜合（1）（2）可得，g（x）∈Ω且h（x）∈Ω
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立的問(wèn)題，屬于中檔題．做題時(shí)應(yīng)該注意運(yùn)用函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)與不等式證明相結(jié)合技巧的應(yīng)用．