Question

（本小題滿分13=5+5+3分）已知點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)（C為圓心）, 過(guò)P點(diǎn)的動(dòng)弦AB.

（1）如果, , 求弦AB所在直線方程.

（2）如果, 當(dāng)最大時(shí), 求直線的方程.

（3）過(guò)A、B作圓的兩切線相交于點(diǎn), 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

 

Answer 1

（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)軸時(shí), , 此時(shí), 由對(duì)稱性知另一條弦所在的直線方程為；

（2）由于以PC為直徑的圓在圓C內(nèi), 所以角CAP為銳角, 過(guò)C作PA的垂線, 垂足為N, 當(dāng)NC最大時(shí), 角CAP最大；

（3）求出圓C在A、B處的切線方程，可得AB的方程，點(diǎn)P在上，即可得出結(jié)論.

試題解析：（1）當(dāng)軸時(shí), , 此時(shí), 由對(duì)稱性知另一條弦所在的直線方程為

（2）由于以PC為直徑的圓在圓C內(nèi), 所以角CAP為銳角, 過(guò)C作PA的垂線, 垂足為N, 當(dāng)NC最大時(shí), 角CAP最大, 又NCPC, 所以當(dāng)N、P重合時(shí), 最大, 此時(shí), 故PA的方程為:

（3）因?yàn)檫^(guò)A、B的圓心的兩條切線相交, 所以P點(diǎn)異于圓心C.

設(shè), , 圓C在A、B處的切線方程分別為:

, , 它們交于點(diǎn), 所以,

這兩式表明: A、B兩點(diǎn)在直線上, 即AB的直線方程為, P在AB上,

所以

所以M的軌跡方程為:

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用