Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處與直線y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知函數(shù)的解析式f（x）=x³-3ax+b，把點(diǎn)（2，f（2））代入，再根據(jù)f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處與直線y=8相切，求出a，b的值；
（2）由題意先對函數(shù)y進(jìn)行求導(dǎo)，解出極值點(diǎn)，然后再根據(jù)極值點(diǎn)的值討論函數(shù)的增減性及其增減區(qū)間；
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-3a，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處與直線y=8相切，
∴

（Ⅱ）∵f′（x）=3（x²-a）（a≠0），
當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f（x）沒有極值點(diǎn)．
當(dāng)a＞0時(shí)，由，
當(dāng)時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∴此時(shí)是f（x）的極大值點(diǎn)，是f（x）的極小值點(diǎn)．
點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問題的能力．