Question

（2012•嘉定區(qū)三模）已知函數(shù)f(x)=

1

x+1

，點(diǎn)A_n為函數(shù)f（x）圖象上橫坐標(biāo)為n（n∈N^* ）的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量

e

=(1 ， 0)．記θ_n為向量

OAn

與

e

的夾角，則

lim

n→∞

(tanθ1+tanθ2+…+tanθn)=

1

．

Answer 1

分析：因?yàn)?span id="lpzhtlj" class="MathJye">

e

=(1 ， 0)，θ_n為向量

OAn

與

e

的夾角，所以θ_n為直線OA_n的傾斜角，從而tanQ_n為直線OA_n的斜率，利用裂項(xiàng)法求和，再求極限，即可得到結(jié)論．

解答：解：因?yàn)?span id="hjtb9f9" class="MathJye">

e

=(1 ， 0)，θ_n為向量

OAn

與

e

的夾角
∴θ_n為直線OA_n的傾斜角，
∵tanQ_n為直線OA_n的斜率，A_n（n，

1

n+1

）
∴tanQ_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴

lim

n→∞

(tanθ1+tanθ2+…+tanθn)=

lim

n→∞

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

lim

n→∞

(1-

1

n+1

)=1
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，考查極限的求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．