Question

如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE⊥面ABCD，DF∥AE，AE=4，G為EC的中點(diǎn)，且GF∥面ABCD．
（Ⅰ）求點(diǎn)B到面EFC的距離；
（Ⅱ）求二面角B-EC-F的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：由“四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE⊥面ABCD”可得直線AB、AD、AE兩兩垂直，因此可以先建立空間直角坐標(biāo)系，然后將點(diǎn)到平面的距離及二面角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成空間向量的計(jì)算問(wèn)題解決，主要是平面法向量的應(yīng)用．

解答： 解析：連AC、BD交于O點(diǎn)，連OG，∵四邊形ABCD是正方形，∴O為AC的中點(diǎn)，又∵G為EC的中點(diǎn)，
∴GO∥AE，GO=2，∴GO∥FD，∴G、O、D、F共面，且面GODF∩面ABCD=OD
由GF∥面ABCD得GF∥OD，∴四邊形GODF為平行四邊形，∴DF=GO=2，
以A為原點(diǎn)，AB、AD、AE所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
則B（2，0，0），C（2，2，0），E（0，0，4），F(xiàn)（0，2，2）
（1）

CF

=（-2，0，2），

EF

=（0，2，-2），設(shè)面EFC的一個(gè)法向量為

n1

=（x₁，y₁，z₁），
則

n1 • CF =-2x1+2z1=0 n1 • EF =2y1-2z1=0

，解得x₁=y₁=z₁，取

n1

=（1，1，1），
則

n1

方向上的單位向量是

n0

=（

3

3

，

3

3

，

3

3

），

BC

=（0，2，0）
∴點(diǎn)B到面EFC之距為d=|

BC

•

n0

|=

2 3

3

．
（2）

BE

=（-2，0，4）

BC

=（0，2，0）
設(shè)面BEC的一個(gè)法向量為

n2

=（x₂，y₂，z₂），
則

n2 • BE =-2x2+4z2=0 n2 • BC =2y2=0

，解得x₂=2z₂，y=0，取

n2

=（-2，0，-1），
設(shè)二面角B-EC-F的大小α，則cosα=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

-3

5 × 3

=-

15

5

．

點(diǎn)評(píng)：利用空間向量求二面角時(shí)，一般是先求出兩個(gè)平面的法向量

n1

，

n2

，則這兩個(gè)法向量的夾角或其補(bǔ)角的大小就是所求二面角的大小；利用空間求二面角時(shí)，注意結(jié)合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角．