Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，△ABC是邊長等于2的正三角形，且∠PCA=∠PCB．
（Ⅰ）求證：PC⊥AB； 
（Ⅱ）設正△ABC的中心為O，△PAB的重心為G，求證：OG∥平面PAC；
（Ⅲ）當側(cè)面PBC⊥底面ABC時，二面角P-AB-C與二面角A-PC-B的大小恰好相等．
①求證：PC⊥底面ABC； 
②求二面角A-PB-C的正切值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）作AB的中點E，連結(jié)PE，CE，有BC=AC，∠PCA=∠PCB，PC=PC，推斷出△PBC≌△PAC，進而可知PB=PA，推斷出PE⊥AB，又AC=BC，E為AB的中點，推斷出CE⊥AB，進而根據(jù)線面垂直的判定定理知AB⊥平面PEC，則可證明出PC⊥AB； 
（Ⅱ）先根據(jù)題意推斷出G，O分別在PE，CE上，利用三角形重心的性質(zhì)推斷出

EG

GP

=

EO

OC

，進而推斷出OG∥PC，最后根據(jù)線面平行的判定定理推斷出OG∥平面PAC．
（Ⅲ）①作BC的中點F，連結(jié)AF，由AB=AC，推斷出AF⊥BC，進而根據(jù)面面垂直的性質(zhì)推斷出AF⊥平面BCP，進而可知AF⊥PC，利用線面垂直的判定定理推斷出PC⊥平面ABC．
②由PC⊥平面ABC．推斷出PC⊥AC，PC⊥BC，判斷出∠ACB為二面角A-PC-B，根據(jù)PE⊥AB，CE⊥AB，判斷出∠PEC為平面APB和平面ABC的二面角，進而可知∠PEC=∠ACB=60°，在Rt△PEC中，求得PC，利用勾股定理求得BP，作FH⊥PB，連結(jié)AH，由AE⊥平面BCP，推斷出BP⊥AE，進而可知BP⊥平面AFH，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知BP⊥AH，推斷出二面角A-PB-C為∠AHF，根據(jù)∠CBP=∠PBC，∠FHB=∠PCB=90°，判斷出△BFH∽△BPC，利用

BF

BP

=

FH

PC

，求得FH，最后在Rt△AFH中，求得tan∠AHF．

解答： （Ⅰ）證明：作AB的中點E，連結(jié)PE，CE，
∵BC=AC，∠PCA=∠PCB，PC=PC，
∴△PBC≌△PAC，
∴PB=PA，
∴PE⊥AB，
∵AC=BC，E為AB的中點，
∴CE⊥AB，
∵CE?平面PEC，PE?平面PEC，PE∩CE=E，
∴AB⊥平面PEC，
∵PC?平面PEC，
∴PC⊥AB； 
（Ⅱ）△PAB的重心為G，△ABC的中心為O，且PE，CE分別為△PAB，△ABC的中線，
∴G，O分別在PE，CE上，
∴

EG

GP

=

1

2

=

EO

OC

，
∴OG∥PC，
∵PC?平面APC，OG?平面APC，
∴OG∥平面PAC．
（Ⅲ）①作BC的中點F，連結(jié)AF，
∵AB=AC，
∴AF⊥BC，
∵面PBC⊥底面ABC，面PBC∩底面ABC=BC，
∴AF⊥平面BCP，
∵PC?平面BCP，
∴AF⊥PC，
∵PC⊥AB，AB∩AF=A，AB?平面ABC，AF?平面ABC，
∴PC⊥平面ABC．
②∵PC⊥平面ABC．
∴PC⊥AC，PC⊥BC，
∴∠ACB為二面角A-PC-B，
∵PE⊥AB，CE⊥AB，
∴∠PEC為平面APB和平面ABC的二面角，
∴∠PEC=∠ACB=60°，
∴在Rt△PEC中，PC=tan60°•EC=3，
∴BP=

BC2+PC2

=

13

，
作FH⊥PB，連結(jié)AH，
∵AE⊥平面BCP，
∴BP⊥AE，
∴BP⊥平面AFH，
∵AH?平面AFH，
∴BP⊥AH，
∴二面角A-PB-C為∠AHF，
∵∠CBP=∠PBC，∠FHB=∠PCB=90°，
∴△BFH∽△BPC，
∴

BF

BP

=

FH

PC

，
∴FH=

BF

BP

•PC=

1

13

×3=

3 13

13

，
∴在Rt△AFH中，tan∠AHF=

AF

FH

=

3

3 13 13

=

39

3

．

點評：本題主要考查了線面平行，線面垂直的判定定理，面面垂直的性質(zhì)，二面角的計算等．在第三問中，解題的關(guān)鍵是找到所求的二面角的平面．