Question

設函數f（x）=x²+2x+1，令F（x）=

f(x) ， x＞0 -f(-x) ， x＜0

（Ⅰ）當x∈[2，5]時，g（x）=f（x）-k•x是單調函數，求實數k的取值范圍；
（Ⅱ）寫出F（x）的表達式，并求G（x）=F（x）-4x的零點．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷,函數的零點

專題：函數的性質及應用

分析：（I）由g（x）=f（x）-k•x=x²+（2-k）x+1的對稱軸方程為x=-

2-k

2

，若g（x）在x∈[2，5]上是單調函數，則-

2-k

2

≤2或-

2-k

2

≥5，進而可得實數k的取值范圍；
（Ⅱ）G（x）=F（x）-4x的零點即為F（x）=4x的根，根據F（x）=

f(x) ， x＞0 -f(-x) ， x＜0

，分x＞0時和x＜0時兩種情況，求解方程，最后綜合分類結果，可得結論．

解答： 解：（I）∵f（x）=x²+2x+1，
∴g（x）=f（x）-k•x=x²+（2-k）x+1，
由于g（x）在x∈[2，5]上是單調函數，
-

2-k

2

≤2或-

2-k

2

≥5…（4分）
解得：k≤6或k≥12．…（6分）
（II）∵f（x）=x²+2x+1，
∴F（x）=

x2+2x+1，x＞0 -x2+2x-1，x＜0

，…（8分）
又∵G（x）=F（x）-4x的零點，即為F（x）=4x的根，…（9分）
當x＞0時，x²+2x+1=4x，解得x=1，
當x＜0時，-x²+2x-1=4x，解得x=-1，…（11分）
∴G（x）=F（x）-4x的零點為±1．…（12分）

點評：本題考查的知識點是根的存在性，函數的零點，二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．