Question

如圖在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=2，CC₁=4，E是BB₁上的一點，且EB₁=1，D、F、G分別是CC₁、B₁C₁、A₁C₁的中點，EF與B₁D相交于H．
（Ⅰ）求證：B₁D⊥平面ABD；
（Ⅱ）求證：平面EFG∥平面ABD；
（Ⅲ）求平面EG與平面ABD的距離．

Answer 1

考點：平面與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件得AB⊥平面BB₁C₁C，從而AB⊥B₁D，又B₁D⊥BD，由此能證明B₁D⊥平面ABD．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出EF∥平面ABD，GF∥平面ABD，由此能證明平面EFG∥平面ABD．
（Ⅲ）由已知條件推導(dǎo)出HD為平行平面EFG與ABD之間的距離，由此能求出結(jié)果．

解答： （Ⅰ）證明：由直三棱柱的性質(zhì)，得平面ABC⊥平面BB₁C₁C，
又AB⊥BC，∴AB⊥平面BB₁C₁C，
又B₁D?平面BB₁C₁C，
∴AB⊥B₁D，
∵BC=CD=DC₁=B₁C₁=2，
∴在Rt△BCD和Rt△DC₁B₁中，
∠BDC=∠B₁DC₁=45°，
∴∠BDB₁=90°，即B₁D⊥BD，
又AB∩BD=B，
∴B₁D⊥平面ABD．
（Ⅱ）證明：由題意知EB₁=B₁F=1，
∴在Rt△EB₁F中，∠FEB₁=45°，
又∠DBB₁=45°，∴EF∥BD，
∵BD?平面ABD，EF不包含于平面ABD，
∴EF∥平面ABD，
∵G、F分別為A₁C₁、B₁C₁的中點，
∴GF∥A₁B₁，又A₁B₁∥AB，
∴GF∥AB，
∵AB?平面，GF不包含平面ABD，
∴GF∥平面ABD，
∵EF?平面EFG，GF?平面EFG，EF∩GF=F，
∴平面EFG∥平面ABD．
（Ⅲ）解：∵B₁D⊥平面ABD，平面EGF∥平面ABD，
∴B₁D⊥平面EGF，
∴HD為平行平面EFG與ABD之間的距離，
∴HD=B₁D-B₁H=2

2

-

2

2

=

3 2

2

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查平面與平面平行的證明，考查兩平行平面間的距離的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．