Question

已知函數(shù)f（x）=-4lnx-

1

2

ax²+x，其中a∈R．
（Ⅰ）若a=-

1

2

，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）若存在兩個(gè)整數(shù)m，n，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，n）上是增函數(shù)，且（m，n）⊆（0，a+4），求n的最大值，及n取最大值時(shí)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求f（x），f′（x），找函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，判斷它的單調(diào)性，從而求出f（x）的最小值．
（Ⅱ）先根據(jù)（m，n）⊆（0，a+4），得到：0≤m＜n≤a+4，a＞-4．求f′（x）=

-ax2+x-4

x

，設(shè)h（x）=-ax²+x-4，根據(jù)已知條件，h（x）＞0在（m．n）上恒成立．這時(shí)候，討論a的取值情況，從而得出a的取值范圍，并求出n的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=-4lnx+

1

4

x2+x，f′（x）=-

4

x

+

1

2

x+1=

(x+4)(x-2)

2x

(x＞0)；
∴x∈（0，2）時(shí)，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
∴f（x）_min=f（2）=-4ln2+3．
（Ⅱ）∵（m，n）⊆（0，a+4），∴0≤m＜n≤a+4，a＞-4          ①；
f′（x）=-

4

x

-ax+1=

-ax2+x-4

x

（x＞0），
設(shè)h（x）=-ax²+x-4，則：
f′（x）＞0，即h（x）＞0，對(duì)x∈（m，n）恒成立．
（1）當(dāng)a＜0時(shí)，∵h(yuǎn)（0）=-4，∴h（a+4）=-a[（a+4）²-1]＞0，解得a＞-3，或a＜-5        ②；
由①②得：-3＜a＜0，m＜n≤a+4＜4；
又m，n為整數(shù)，∴m＜n≤3；
當(dāng)且僅當(dāng)

-3＜a＜0 3≤a+4＜4 h(2)=-4a-2≥0

，即-1≤a≤-

1

2

時(shí)，n_max=3；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間是[4，+∞），不適合條件；
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，由h（0）＜0，h（a+4）＜0，要使f′（x）＞0在（0，a+4）上有解，則：

0＜ 1 2a ＜a+4 △=1-16a＞0

，不等式組無(wú)解，∴不適合條件．
綜上：n_max=3，此時(shí)a的取值范圍是：[-1，-

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：考查導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)最值的關(guān)系，而對(duì)于第二問，求解的思路就是，求整數(shù)n的取值范圍，從而求出n的最大值，及此時(shí)a的取值范圍．