Question

4．已知f₁（x），f₂（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且滿足f₁（x）+f₂（x）=x²-2+$\frac{1}{2}（{e^x}-{e^{-x}}）$．
（1）求函數(shù)f₁（x）和f₂（x）的解析式；
（2）已知函數(shù)g（x）=f₁（x）+2（x+1）+alnx在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）方程法：把方程中的x換成-x，然后利用奇偶性可得另一方程，聯(lián)立可解得函數(shù)f₁（x）和f₂（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=f₁（x）+2（x+1）+alnx在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，則g′（x）≤0在區(qū)間（0，1]上恒成立，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f₁（x），f₂（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，
且滿足f₁（x）+f₂（x）=x²-2+$\frac{1}{2}（{e^x}-{e^{-x}}）$．…①
∴f₁（-x）+f₂（-x）=f₁（x）-f₂（x）=x²-2+$\frac{1}{2}（{e}^{-x}-{e}^{x}）$…②，
兩式相加得：f₁（x）=x²-2，
兩式相減得：f₂（x）=e^x-e^-x，
（2）∵函數(shù)g（x）=f₁（x）+2（x+1）+alnx=x²-2+2（x+1）+alnx=x²+2x+alnx在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，
∴g′（x）=2x+2+$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}+2x+a}{x}$≤0在區(qū)間（0，1]上恒成立，
即h（x）=2x²+2x+a≤0在區(qū)間（0，1]上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}h（0）=a≤0\\ h（1）=4+a≤0\end{array}\right.$，
解得a∈（-∞，-4]，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-4]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生解決問(wèn)題的能力．