Question

已知函數(shù)f（x）=x²+blnx和g（x）=

x-9

x-3

的圖象在x=4處的切線互相平行．
（Ⅰ）求b的值； 
（Ⅱ）求f（x）的極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求出函數(shù)f（x）與g（x）在x=4處的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）和g（x）的圖象在x=4處的切線互相平行，建立等量關(guān)系，求出b即可；
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的極值．

解答： 解：（Ⅰ）g'（x）=

6

(x-3)2

∴g'（4）=6
∵函數(shù)f（x）=x²+blnx和g（x）=

x-9

x-3

的圖象在x=4處的切線互相平行
∴f'（4）=6
而f'（x）=2x+

b

x

，則f'（4）=8+

b

4

=6
∴b=-8…（5分）
（Ⅱ）顯然f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f'（x）=

2x2-8

x

令f'（x）=0，解得x=2或x=-2（舍去）
∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)x＞2時(shí)，f'（x）＞0
∴f（x）在（0，2）上是單調(diào)遞減函數(shù)，在（2，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)
∴f（x）在x=2時(shí)取得極小值且極小值為f（2）=4-8ln2．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及兩條直線平行的判定等基礎(chǔ)題知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．