Question

【題目】對于無窮數(shù)列，，若－…，則稱是的“收縮數(shù)列”.其中，，分別表示中的最大數(shù)和最小數(shù).已知為無窮數(shù)列，其前項(xiàng)和為，數(shù)列是的“收縮數(shù)列”.

（1）若，求的前項(xiàng)和；

（2）證明：的“收縮數(shù)列”仍是；

（3）若，求所有滿足該條件的.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）所有滿足該條件的數(shù)列為

【解析】

（1）由可得為遞增數(shù)列，，，從而易得；

（2）利用，

，可證是不減數(shù)列（即），而，由此可得的“收縮數(shù)列”仍是.

（3）首先，由已知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，（*），這里分析與的大小關(guān)系，，均出現(xiàn)矛盾，，結(jié)合(*)式可得，因此猜想（），用反證法證明此結(jié)論成立，證明時(shí)假設(shè)是首次不符合的項(xiàng)，則，這樣題設(shè)條件變?yōu)?/span>（*），仿照討論的情況討論，可證明．

解：（1）由可得為遞增數(shù)列，

所以，

故的前項(xiàng)和為.

（2）因?yàn)?/span>，

，

所以

所以.

又因?yàn)?/span>，所以，

所以的“收縮數(shù)列”仍是.

（3）由可得

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，即，所以；

當(dāng)時(shí)，，即（*），

若，則，所以由（*）可得，與矛盾；

若，則，所以由（*）可得，

所以與同號，這與矛盾；

若，則，由（*）可得.

猜想：滿足的數(shù)列是：

.

經(jīng)驗(yàn)證，左式，

右式.

下面證明其它數(shù)列都不滿足（3）的題設(shè)條件.

法1：由上述時(shí)的情況可知，時(shí)，是成立的.

假設(shè)是首次不符合的項(xiàng)，則，

由題設(shè)條件可得（*），

若，則由（*）式化簡可得與矛盾；

若，則，所以由（*）可得

所以與同號，這與矛盾；

所以，則，所以由（*）化簡可得.

這與假設(shè)矛盾.

所以不存在數(shù)列不滿足的符合題設(shè)條件.

法2：當(dāng)時(shí)，，

所以

即

由可得

又，所以可得，

所以，

即

所以等號成立的條件是

，

所以，所有滿足該條件的數(shù)列為.