Question

【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求橢圓的方程；

（2）定義：曲線在點(diǎn)處的切線方程為.若拋物線上存在點(diǎn)（不與原點(diǎn)重合）處的切線交橢圓于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.直線與過點(diǎn)且平行于軸的直線的交點(diǎn)為，證明：點(diǎn)必在定直線上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）由得出，再由得出，求出、的值，從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)中定義得出直線的方程，并設(shè)點(diǎn)、，，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，得出直線的方程與的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出點(diǎn)所在的定直線的方程.

（1）由，可知，即.

，，，可得，聯(lián)立.

得，則，所以，

所以橢圓的方程為；

（2）設(shè)點(diǎn)，則由定義可知，過拋物線上任一點(diǎn)處的切線方程為，所以.

設(shè)、，.

聯(lián)立方程組，消去，得.

由，得，解得.

因?yàn)?/span>，

所以，從而，

所以，所以直線的方程為.

而過點(diǎn)且平行于軸的直線方程為，

聯(lián)立方程，解得，所以點(diǎn)在定直線上.