Question

【題目】已知圓C過(guò)點(diǎn)，且與圓M：關(guān)于直線對(duì)稱．

求圓C的方程；

過(guò)點(diǎn)P作兩條相異直線分別與圓C相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線OP和AB是否平行？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）直線AB和OP一定平行．證明見(jiàn)解析

【解析】

由已知中圓C過(guò)點(diǎn)，且圓M：關(guān)于直線對(duì)稱，可以求出圓心坐標(biāo)，即可求出圓C的方程；

由已知可得直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，設(shè)PA：，PB：，求出A，B坐標(biāo)后，代入斜率公式，判斷直線OP和AB斜率是否相等，即可得到答案．

由題意可得點(diǎn)C和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，

且圓C和圓M的半徑相等，都等于r．

設(shè)，由且，解得：，．

故原C的方程為．

再把點(diǎn)代入圓C的方程，求得．

故圓的方程為：；

證明：過(guò)點(diǎn)P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，

且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

則得直線OP和AB平行，

理由如下：由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，

故可設(shè)PA：，PB：．

由，得，

因?yàn)?/span>的橫坐標(biāo)一定是該方程的解，，

同理可得．

由于AB的斜率的斜率，

所以直線AB和OP一定平行．