Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項(xiàng)和S_n=

n+2

3

a_n．
（1）求a₂、a₃
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式
（3）若b_n=

1

2an

，求證：數(shù)列{b_n}的前2K項(xiàng)中，所有偶數(shù)的和小于

1

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a₁=1，前n項(xiàng)和S_n=

n+2

3

a_n．取n=2時(shí)可得：a₁+a₂=

4

3

a2，解得a₂．取n=3時(shí)可得：a₁+a₂+a₃=

5

3

a3，解得a₃．
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

n+2

3

an-

n+1

3

an-1，化為

an

an-1

=

n+1

n-1

，利用“累乘求積”a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•

an-2

an-3

•…•

a3

a2

•

a2

a1

•a1，即可得出；
（3）b_n=

1

2an

=

1

n(n+1)

，當(dāng)n=2時(shí)，b₂=

1

6

＜

1

3

．當(dāng)n≥4時(shí)，b_n=b_2k=

1

2k(2k+1)

＜

1

4(k-1)k

=

1

4

(

1

k-1

-

1

k

)，即可得出．

解答： （1）解：∵a₁=1，前n項(xiàng)和S_n=

n+2

3

a_n．
∴取n=2時(shí)可得：a₁+a₂=

4

3

a2，
解得a₂=3．
取n=3時(shí)可得：a₁+a₂+a₃=

5

3

a3，解得a₃=6．
∴a₂=3，a₃=6．
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

n+2

3

an-

n+1

3

an-1，
化為

an

an-1

=

n+1

n-1

，
∴a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•

an-2

an-3

•…•

a3

a2

•

a2

a1

•a1
=

n+1

n-1

•

n

n-2

•

n-1

n-3

•…•

4

2

×

3

1

×1
=

n(n+1)

2

．當(dāng)n=1時(shí)也成立．
（3）證明：b_n=

1

2an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴b₂+b₄+…+b_2k=

1

2

-

1

3

+

1

4

-

1

5

+…+

1

2k

-

1

2k+1

，
當(dāng)n=2時(shí)，b₂=

1

6

＜

1

3

．
當(dāng)n≥4時(shí)，b_n=b_2k=

1

2k(2k+1)

＜

1

4(k-1)k

=

1

4

(

1

k-1

-

1

k

)，
∴b₂+b₄+…+b_2k＜

1

6

+

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

k-1

-

1

k

)]=

1

6

+

1

4

(1-

1

k

)＜

1

6

+

1

4

×

1

2

＜

1

3

，
∴數(shù)列{b_n}的前2K項(xiàng)中，所有偶數(shù)的和小于

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、“累乘求積”方法、“放縮法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．