Question

【題目】設(shè)圓x2+y2+2x﹣15=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E．
（1）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1 ， 直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：圓x2+y2+2x﹣15=0即為（x+1）2+y2=16，

可得圓心A（﹣1，0），半徑r=4，

由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，

由AC=AD，可得∠D=∠C，

即為∠D=∠EBD，即有EB=ED，

則|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，

故E的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，

且有2a=4，即a=2，c=1，b= = ，

則點(diǎn)E的軌跡方程為 =1（y≠0）；

（2）

解：

橢圓C1： =1，設(shè)直線l：x=my+1，

由PQ⊥l，設(shè)PQ：y=﹣m（x﹣1），

由 可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

可得y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，

則|MN|= |y1﹣y2|= = =12 ，

A到PQ的距離為d= = ，

|PQ|=2 =2 = ，

則四邊形MPNQ面積為S= |PQ||MN|= 12 =24 =24 ，

當(dāng)m=0時，S取得最小值12，又 ＞0，可得S＜24 =8 ，

即有四邊形MPNQ面積的取值范圍是[12，8 ）

【解析】直線與橢圓的位置關(guān)系；圓的一般方程.（1）求得圓A的圓心和半徑，運(yùn)用直線平行的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，可得EB=ED，再由圓的定義和橢圓的定義，可得E的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，求得a，b，c，即可得到所求軌跡方程；（2）設(shè)直線l：x=my+1，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，可得|MN|，由PQ⊥l，設(shè)PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距離，再由圓的弦長公式可得|PQ|，再由四邊形的面積公式，化簡整理，運(yùn)用不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍.本題考查軌跡方程的求法，注意運(yùn)用橢圓和圓的定義，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，以及直線和圓相交的弦長公式，考查不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解圓的一般方程的相關(guān)知識，掌握圓的一般方程的特點(diǎn)：(1)①x2和y2的系數(shù)相同，不等于0．②沒有xy這樣的二次項(xiàng)；(2)圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F，因之只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了；(3)、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯．