Question

20．設(shè)f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，已知x²f′（x）+xf（x）=lnx，f（1）=$\frac{1}{2}$，則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A． xf（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增
• B． xf（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減
• C． xf（x）在（0，+∞）上有極大值$\frac{1}{2}$
• D． xf（x）在（0，+∞）上有極小值$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可得到結(jié)論．

解答 解：由x²f′（x）+xf（x）=lnx得x＞0，
則xf′（x）+f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
即[xf（x）]′=$\frac{lnx}{x}$，
設(shè)g（x）=xf（x），
即g′（x）=$\frac{lnx}{x}$＞0得x＞1，由g′（x）＜0得0＜x＜1，
即當(dāng)x=1時，函數(shù)g（x）=xf（x）取得極小值g（1）=f（1）=$\frac{1}{2}$，
故選：D

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．