Question

15．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，a=$\sqrt{3}$，b+c=3．
（Ⅰ）求cosA+2cos$\frac{B+C}{2}$的最大值；
（Ⅱ）在（I）的條件下，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式，及配方，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，即可得到；
（Ⅱ）由三角形的余弦定理和面積公式，結(jié)合條件計(jì)算即可得到面積．

解答 解：（Ⅰ）由A+B+C=π，可得$\frac{B+C}{2}$=$\frac{π}{2}$-$\frac{A}{2}$，
即有cos$\frac{B+C}{2}$=sin$\frac{A}{2}$，
則cosA+2cos$\frac{B+C}{2}$=1-2sin²$\frac{A}{2}$+2sin$\frac{A}{2}$=-2（sin$\frac{A}{2}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，
當(dāng)sin$\frac{A}{2}$=$\frac{1}{2}$即A=$\frac{π}{3}$時，cosA+2cos$\frac{B+C}{2}$取得最大值，且為$\frac{3}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得cosA=1-2sin²$\frac{A}{2}$=1-2×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$，
cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-2bc}{2bc}$=$\frac{（b+c）^{2}-2bc-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{9-2bc-3}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
即有bc=2，又sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查三角形的余弦定理和面積公式的運(yùn)用，同時考查誘導(dǎo)公式和二倍角公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．