Question

設函數f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*），f′（x）表示f（x）的導函數．
（1）求函數y=f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）當k為偶數時，若函數f（x）的圖象恒在函數g（x）=（1-2a）x²的上方，求實數a的取值范圍；
（3）當k為奇數時，設b_n=

1

2

f′（n）-n，數列{b_n}的前n項和為S_n，證明不等式（1+b_n） 

1

bn+1

＞e對一切正整數n均成立，并比較S₂₀₁₄-2與ln2014的大�。�

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,利用導數研究函數的極值,數列的求和

專題：綜合題,等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：（1）先求函數f（x）的導數，f′（x），再對k進行奇偶數討論：①當k 為奇數時；②當k 為偶數時，分別得出導數值為正或負時的x的取值集合，最后綜合即可；
（2）由題意知：x²-2lnx＞（1-2a）x²恒成立，即a＞

lnx

x2

恒成立，設h(x)=

lnx

x2

，則a＞[h（x）]_max；
（3）當k為奇數時，f′（x）=2（x+

1

x

），要證（1+b_n） 

1

bn+1

＞e，即證(1+

1

n

)n+1＞e，兩邊取對數，即證ln(1+

1

n

)＞

1

n+1

，設1+

1

n

=t，則n=

1

t-1

(t＞1)，即證不等式lnt＞1-

1

t

(t＞1)成立．構造函數．利用導數工具研究其單調性即可證得lnt＞1-

1

t

，最后利用累乘法即可證出S₂₀₁₄-1＜ln2014．

解答： （1）解：函數的定義域為（0，+∞），
又y′=f′(x)=2x-2(-1)k

1

x

=

2[x2-(-1)k]

x

，…（1分）
①當k為奇數時，f′(x)=

2(x2+1)

x

，∵x∈（0，+∞），∴f'（x）＞0在（0，+∞）恒成立．
即f'（x）的單調遞增區(qū)間為（0，+∞）…（2分）
②當k為偶數時，f′(x)=

2(x2-1)

x

=

2(x+1)(x-1)

x

又x∈（0，+∞），∴x+1＞0
由f'（x）＞0，得x-1＞0，∴x＞1，即f（x）的單調遞增區(qū)間為（1，+∞），
綜上所述：當k為奇數時，f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，+∞），
當k為偶數時，f（x）的單調遞增區(qū)間為（1，+∞）…（4分）
（2）解：當k為偶數時，f（x）=x²-2lnx，
由題意知：x²-2lnx＞（1-2a）x²恒成立，即a＞

lnx

x2

恒成立．
設h(x)=

lnx

x2

，則a＞[h（x）]_max…（6分）
由h′(x)=

1-2lnx

x3

=0得x=

e

，h'（x），h（x）隨x的變化情況如下表：

x	(0， e )	e	( e ，+∞)
h'（x）	+	0	-
h（x）		極大值

∴h（x）在x=

e

處取得極大值，也為最大值，
即[h(x)]max=h(

e

)=

1

2e

，故實數a的取值范圍為a＞

1

2e

…（9分）
（3）證明：由（1）知，當k為奇數時，f′(x)=2(x+

1

x

)，
∴bn=

1

2

f′(n)-n=

1

n

，Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．
由已知要證(1+

1

n

)n+1＞e，兩邊取自然對數，即證ln(1+

1

n

)＞

1

n+1

，…（11分）
設1+

1

n

=t，則n=

1

t-1

(t＞1)，即證不等式lnt＞1-

1

t

(t＞1)成立．
構造函數ϕ(t)=lnt+

1

t

-1(t＞1)，下面證明ϕ（t）在（1，+∞）上恒大于0．
∵t＞1，∴ϕ′(t)=

1

t

-

1

t2

＞0
∴ϕ（t）在（1，+∞）上單調遞增，∴ϕ（t）＞ϕ（1）=0
即lnt＞1-

1

t

，∴ln(1+

1

n

)＞

1

n+1

，∴(1+

1

n

)n+1＞e，
即(1+bn)

1

bn+1

＞e成立…（13分）
由ln

n+1

n

＞

1

n+1

，得

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

＜ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n+1

n

=ln(n+1)，
即S_n+1-1＜ln（n+1），當n=2013時，S₂₀₁₄-1＜ln2014…（14分）

點評：本小題主要考查利用導數研究函數的單調性、證明不等式等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于難題．