Question

已知矩陣M=

a 1 1 b

，若向量

-2 1

在矩陣M的交換下得到向量

1 2

（Ⅰ）求矩陣M；
（Ⅱ）矩陣N=

1 0 2 1

，求直線x+y+1=0在矩陣NM的對(duì)應(yīng)變換作用下得到的曲線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：幾種特殊的矩陣變換

專題：選作題,矩陣和變換

分析：（Ⅰ）利用矩陣變換公式，即可求矩陣N；    
（Ⅱ）求出MN，可得坐標(biāo)之間的關(guān)系，代人直線x+y+1=0整理，即可求曲線的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由

a 1 1 b

-2 1

=

1 2

…（1分）
得

-2a+1=1 -2+b=2

，解得a=0，b=4…（2分）
∴M=

0 1 1 4

…（3分）
（Ⅱ）NM=

1 0 2 1

0 1 1 4

=

0 1 1 6

…（4分）
設(shè)P（x，y）為x+y+1=0上任一點(diǎn)，在NM變換作用下的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P'（x'，y'），
則

0 1 1 6

x y

=

x′ y′

…（5分）
得

y=x′ x+6y=y′

，代入x+y+1=0得y'-5x'+1=0…（6分）
即所求的曲線方程為5x-y-1=0…（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出矩陣變換，求直線x+y+1=0在矩陣NM的對(duì)應(yīng)變換作用下得到的曲線方程，著重考查了矩陣與變換的運(yùn)算、曲線方程的求法等知識(shí)，屬于中檔題．