Question

8．設(shè)非空集A滿足以下條件：若a∈A，則$\frac{1}{1-a}$∈A，且1∉A
（1）若2∈A，你還能求出A中哪些元素？
（2）求證：若a∈A，則1-$\frac{1}{a}$∈A．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)集合A的元素的性質(zhì)知，a與$\frac{1}{1-a}$都在集合A中，故由2∈A，在利用$\frac{1}{1-a}$進(jìn)行求解，直到求出三個(gè)元素為止，用列舉法表示出來；
（2）由1∉A知a≠0，∴得出a∈A，$\frac{1}{1-a}$∈A，進(jìn)一步得到$\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}$=1-$\frac{1}{a}$∈A，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵若a∈A，則$\frac{1}{1-a}$∈A，2∈A
∴$\frac{1}{1-2}$=-1∈A，
∴$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$∈A，
∴$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2∈A，
所以，A={2，-1，$\frac{1}{2}$}；
證明：（2）由1∉A知a≠0，
∴a∈A，$\frac{1}{1-a}$∈A
得$\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}$=1-$\frac{1}{a}$∈A，
所以1-$\frac{1}{a}$是A中元素．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了元素與集合的關(guān)系，主要根據(jù)集合元素的特征進(jìn)行求解，對(duì)于存在型的問題，需要先假設(shè)存在有條件列出方程進(jìn)行求解說明，考查了邏輯思維能力．