Question

已知關(guān)于x的方程|x²-ax+b|=c（b，c＞0）恰有不同的三個(gè)根x₁，x₂，x₃，x₁+x₂+x₃=6，則

1

b

+

a

c

的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)f（x）=x²-ax+b=(x-

a

2

)2+b-

a2

4

，畫出函數(shù)y=|f（x）|與y=c的圖象．由于關(guān)于x的方程|x²-ax+b|=c（b，c＞0）恰有不同的三個(gè)根x₁，x₂，x₃，x₁+x₂+x₃=6，可得x2=

a

2

，x₁+x₃=a，解得a=4．x₂=2，由于

a2

4

-b=c，可得b+c=4．再利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：設(shè)f（x）=x²-ax+b=(x-

a

2

)2+b-

a2

4

，
畫出函數(shù)y=|f（x）|與y=c的圖象．
∵關(guān)于x的方程|x²-ax+b|=c（b，c＞0）恰有不同的三個(gè)根x₁，x₂，x₃，且x₁+x₂+x₃=6，
∴x2=

a

2

，x₁+x₃=a，
∴

3a

2

=6，解得a=4．
∴x₂=2，
又

a2

4

-b=c，
∴b+c=4．又b，c＞0．
∴

1

b

+

a

c

=

1

b

+

4

c

=

1

4

(b+c)(

1

b

+

4

c

)=

1

4

(5+

c

b

+

4b

c

)≥

1

4

(5+2

c b • 4b c

)=

9

4

，當(dāng)且僅當(dāng)c=2b=

8

3

時(shí)取等號(hào)．
∴

1

b

+

a

c

的最小值是

9

4

．
故答案為：

9

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于難題．