Question

1．近幾年，由于環(huán)境的污染，霧霾越來越嚴重，某環(huán)保公司銷售一種PM2.5顆粒物防護口罩深受市民歡迎．已知這種口罩的進價為40元，經銷過程中測出年銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）存在如圖所示的一次函數(shù)關系，每年銷售這種口罩的總開支z（萬元）（不含進價）與年銷量y（萬件）存在函數(shù)關系z=10y+42.5．
（I）求y關于x的函數(shù)關系；
（II）寫出該公司銷售這種口罩年獲利W（萬元）關于銷售單價x（元）的函數(shù)關系式
（年獲利=年銷售總金額-年銷售口罩的總進價-年總開支金額）；當銷售單價x為何值時，年獲利最大？最大獲利是多少？
（III）若公司希望該口罩一年的銷售獲利不低于57.5萬元，則該公司這種口罩的銷售單價應定在什么范圍？在此條件下要使口罩的銷售量最大，你認為銷售單價應定為多少元？

Answer 1

分析 （I）由圖象可知y關于x的函數(shù)關系式是一次函數(shù)，設y=kx+b，用“兩點法”可求解析式；
（II）根據年獲利=年銷售總金額一年銷售產品的總進價一年總開支金額，列出函數(shù)關系式；
（III）令W≥57.5，從而確定銷售單價x的范圍，及二次函數(shù)w最大時，x的值．

解答 解：（I）由題意，設y=kx+b，圖象過點（70，5），（90，3），$\left\{\begin{array}{l}{5=70k+b}\\{3=90k+b}\end{array}\right.$，得k=-$\frac{1}{10}$，b=12，
∴$y=-\frac{1}{10}x+12$…（4分）
（II） 由題意，得
w=y（x-40）-z
=y（x-40）-（10y+42.5）
=（-$\frac{1}{10}$x+12）（x-40）-10（-$\frac{1}{10}$x+12）-42.5
=-0.1x²+17x-642.5=-$\frac{1}{10}$（x-85）²+80．
當銷售單價為85元時，年獲利最大，最大值為80萬元…（8分）
（III）令W≥57.5，-0.1x²+17x-642.5≥57.5，…（9分）
整理得x²-170x+7000≤0，解得70≤x≤100．…（10分）
故要使該口罩一年的銷售獲利不低于57.5萬元，單價應在70元到100元之間．…（11分）
又因為銷售單價越低，銷售量越大，所以要使銷售量最大且獲利不低于57.5萬元，銷售單價應定為70元．      …（12分）

點評 本題考查點的坐標的求法及一次函數(shù)、二次函數(shù)的實際應用．此題為數(shù)學建模題，借助二次函數(shù)解決實際問題．