Question

【題目】定義：若函數f（x）對于其定義域內的某一數x0 ， 有 f（x0）=x0 ， 則稱x0是f （x）的一個不動點．已知函數f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1 （a≠0）．
（1）當a=1，b=﹣2時，求函數f（x）的不動點；
（2）若對任意的實數b，函數f（x）恒有兩個不動點，求a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若y=f（x）圖象上兩個點A，B的橫坐標是函數f（x）的不動點，且A，B兩點關于直線y=kx+ 對稱，求b的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1，b=﹣2時，有f （x）=x2﹣x﹣3，

令x2﹣x﹣3=x，化簡得：x2﹣2x﹣3=0，

解得：x1=﹣1，或x2=3

故所求的不動點為﹣1或3．（4分）

（2）解：令ax2+（b+1）x+b﹣1=x，則ax2+bx+b﹣1=0①

由題意，方程①恒有兩個不等實根，所以△=b2﹣4a（b﹣1）＞0，

即b2﹣4ab+4a＞0恒成立，（6分）

整理得b2﹣4ab+4a=（b﹣2a）2+4a﹣4a2＞0，

故4a﹣4a2＞0，即0＜a＜1

（3）解：設A（x1，x1），B（x2，x2）（x1≠x2），則kAB=1，∴k=﹣1，

所以y=﹣x+ ，

又AB的中點在該直線上，所以 =﹣ + ，

∴x1+x2= ，

而x1、x2應是方程①的兩個根，所以x1+x2=﹣ ，即﹣ = ，

∴

= =

∴當a= ∈（0，1）時，bmin=﹣1

【解析】（1）將a=1，b=﹣2代入f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1 （a≠0），求出f（x），令f（x）=x，解方程求不動點即可；（2）由ax2+（b+1）x+b﹣1=x有兩個不動點，即ax2+bx+b﹣1=0有兩個不等實根，可通過判別式大于0得到關于參數a，b的不等式b2﹣4ab+4a＞0，由于此不等式恒成立，配方可得b2﹣4ab+4a=（b﹣2a）2+4a﹣4a2＞0恒成立，將此不等式恒成立轉化為4a﹣4a2＞0即可．（3）由于本小題需要根據兩個點A、B的坐標轉化點關于線的對稱這一條件，故可以先設出兩點的坐標分別為A（x1 ， x1），B（x2 ， x2）（x1≠x2），由斜率公式求得kAB=1，又對稱性知直線y=kx+ 的斜率k=﹣1將其代入直線的方程，可以得到x1+x2= ，由此聯想到根與系數的關系，由（II）知，x1、x2應是方程ax2+bx+b﹣1=0的根，故又可得x1+x2=﹣ ，至此題設中的條件轉化為﹣ = ，觀察發(fā)現參數b可以表示成參數a的函數即 ，至此，求參數b的問題轉化為求b關于a的函數最小值的問題．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．