11．已知0＜a≤1，0＜b≤1，0＜c≤1，求證：$\frac{1+ab+bc+ca}{a+b+c+abc}$≥1．

分析 由0＜a≤1，0＜b≤1，0＜c≤1，可得1-a≥0，1-b≥0，1-c≥0，運用作差法，由（1+ab+bc+ca）-（a+b+c+abc）因式分解可得（1-a）（1-b）（1-c），即可得證．

解答 證明：由0＜a≤1，0＜b≤1，0＜c≤1，
可得1-a≥0，1-b≥0，1-c≥0，
由（1+ab+bc+ca）-（a+b+c+abc）
=1+ac+b（a+c）-a-c-b（1+ac）
=（1+ac-a-c）+b（a+c-1-ac）
=（1-a）（1-c）+b（a-1）（1-c）
=（1-a）（1-c）（1-b）≥0，
可得1+ab+bc+ca≥a+b+c+abc，
則有$\frac{1+ab+bc+ca}{a+b+c+abc}$≥1．

點評 本題考查不等式的證明，考查作差法的運用，注意運用因式分解的方法，考查運算能力，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

1．已知梯形ABCP，如圖（1）所示，D是CP邊的中點，AB∥PC，且2AB=PC，△APD為等邊三角形，現(xiàn)將平面APD沿AD翻折，使平面APD⊥平面ABCD，得到如圖（2）所示的四棱錐P-ABCD，點M在棱PC上，且PM=$\sqrt{3}$MC．
（1）證明：AD⊥PB；
（2）求二面角P-AD-M的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

2．如圖，矩形CDEF所在的平面與直角梯形ABCD所在的平面垂直，其中AB∥CD，AB=1，BC=$\frac{1}{2}CD=2$，BC⊥CD，MB∥FC，MB=FC=3．P、Q分別為BC、AE的中點．
（1）求證：PQ∥平面MAB；
（2）求二面角A-EC-D的余弦值．

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19．已知函數(shù)f（x）=cos（$\frac{π}{3}$+x）cos（$\frac{π}{3}$-x）-sinxcosx+$\frac{1}{4}$．
（1）求函數(shù)f（x）的對稱中心及在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]的取值范圍；
（2）若△ABC為非直角三角形，a，b，c分別為A，B，C所對的邊，f（A）=-$\frac{1}{2}$，b=1，S△ABC=2，求$\frac{a+b}{sinA+sinB}$的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

6．已知，在四棱錐P-ABCD中，等邊△APD所在平面垂直于平行四邊形ABCD所在平面，M、N分別是棱BC與PD的中點．
（1）證明：MN∥平面PAB；
（2）已知∠ABC=$\frac{π}{3}$，BC=2AB=2，求三棱錐N-MCD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

16．求下列函數(shù)的導數(shù)
（1）y=x$\sqrt{1+{x}^{2}}$
（2）y=xcos（2x+$\frac{π}{2}$）sin（2x+$\frac{π}{2}$）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

3．函數(shù)f（x）=2（x-1）sinπx-1在區(qū)間[-2012，2014]內(nèi)所有零點之和為（　�。�
A．2012B．4024C．2014D．4025

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

20．化簡：$\frac{{a}^{\frac{4}{3}}-8{a}^{\frac{1}{3}}b}{{a}^{\frac{2}{3}}+2\root{3}{ab}+4^{\frac{2}{3}}}$÷（a${\;}^{-\frac{2}{3}}$-$\frac{2\root{3}}{a}$）•$\frac{\sqrt{a\root{3}{{a}^{2}}}}{\root{5}{\sqrt{a}•\root{3}{a}}}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

1．已知全集U={（x，y）|y=x+1}，A={（x，y）|y=x+1，-1＜x＜0}，則點集∁UA表示的圖形兩條射線．

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